Ejercicios: Ángulos entre rectas y planos

\operatorname{sen} \theta = |d \cdot n| / (|d| \cdot |n|)

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá el ángulo entre las rectas de directores $d_1 = (-1; 1; 5)$ y $d_2 = (-4; -2; 1)$ .

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1. Planteamos. El ángulo entre dos rectas es el que forman sus directores.

2. Usamos valor absoluto. Los directores pueden apuntar para cualquiera de los dos lados, así que se toma el valor absoluto del producto escalar para quedarse siempre con el ángulo agudo.

3. Calculamos. $|d_1 \cdot d_2| = 7$ , $|d_1| = \sqrt{27}$ , $|d_2| = \sqrt{21}$

4. Hallamos el ángulo. $\cos\theta = \dfrac{7}{\sqrt{27}\cdot\sqrt{21}}$ , de donde $\theta \approx 72{,}9^\circ$

5. Controlamos. Sin el valor absoluto podría salir un ángulo obtuso, que no es el que se busca entre rectas.

Respuesta: el ángulo es de aproximadamente $72{,}9^\circ$

2. Calculá el ángulo entre los planos $\pi_1: -4x - 8y - z = 2$ y $\pi_2: -5x + 9y - 3z = -9$ .

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1. Planteamos. El ángulo entre dos planos es el que forman sus normales, con la misma consideración del valor absoluto.

2. Leemos los normales de las ecuaciones. $n_1 = (-4; -8; -1)$ y $n_2 = (-5; 9; -3)$

3. Calculamos. $|n_1 \cdot n_2| = 49$ , $|n_1| = \sqrt{81}$ , $|n_2| = \sqrt{115}$

4. Hallamos el ángulo. $\theta \approx 59{,}49^\circ$

5. Observamos. Los términos independientes no intervienen: solo cambian dónde están los planos, no su inclinación.

Respuesta: el ángulo es de aproximadamente $59{,}49^\circ$

3. Calculá el ángulo entre la recta de director $d = (6; 8; -3)$ y el plano de normal $n = (-3; -1; 7)$ .

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1. Detectamos la trampa. El ángulo entre el director y el normal no es el que se busca. Cuando la recta es casi paralela al plano, esos dos vectores son casi perpendiculares.

2. Usamos el seno. Por eso en este caso se usa el seno en vez del coseno, que equivale a restar de noventa grados el ángulo entre director y normal.

3. Calculamos. $|d \cdot n| = 47$ , $|d| = \sqrt{109}$ , $|n| = \sqrt{59}$

4. Hallamos el ángulo. $\operatorname{sen}\theta = \dfrac{47}{\sqrt{109}\cdot\sqrt{59}}$ , de donde $\theta \approx 35{,}88^\circ$

5. Controlamos con los casos extremos. Si la recta estuviera contenida en el plano el ángulo sería cero, y si fuera perpendicular al plano sería recto.

Respuesta: el ángulo es de aproximadamente $35{,}88^\circ$

4. La recta tiene director $d = (-4; -18; -4)$ y el plano tiene normal $n = (-2; -9; -2)$ . Calculá el ángulo entre ellos e interpretá el resultado.

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1. Comparamos los dos vectores. $(-4; -18; -4)$ es múltiplo de $(-2; -9; -2)$ , así que el director de la recta y el normal del plano son paralelos.

2. Aplicamos la fórmula. $\operatorname{sen}\theta = \dfrac{|d \cdot n|}{|d|\,|n|} = 1$

3. Hallamos el ángulo. $\theta = 90^\circ$

4. Interpretamos. La recta es perpendicular al plano. Tiene sentido: si el director apunta en la misma dirección que el normal, la recta atraviesa el plano formando ángulo recto.

5. Controlamos. Es uno de los dos casos extremos que sirven para chequear resultados. El otro es la recta contenida en el plano, que da ángulo cero.

Respuesta: el ángulo es de $90^\circ$ : la recta es perpendicular al plano

5. Calculá el ángulo entre las rectas de directores $d_1 = (-8; -5; 9)$ y $d_2 = (-1; 2; 4)$ .

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1. Planteamos. El ángulo entre dos rectas es el que forman sus directores.

2. Usamos valor absoluto. Los directores pueden apuntar para cualquiera de los dos lados, así que se toma el valor absoluto del producto escalar para quedarse siempre con el ángulo agudo.

3. Calculamos. $|d_1 \cdot d_2| = 34$ , $|d_1| = \sqrt{170}$ , $|d_2| = \sqrt{21}$

4. Hallamos el ángulo. $\cos\theta = \dfrac{34}{\sqrt{170}\cdot\sqrt{21}}$ , de donde $\theta \approx 55{,}32^\circ$

5. Controlamos. Sin el valor absoluto podría salir un ángulo obtuso, que no es el que se busca entre rectas.

Respuesta: el ángulo es de aproximadamente $55{,}32^\circ$

6. Calculá el ángulo entre los planos $\pi_1: x + 6y - 4z = 6$ y $\pi_2: -2x - 5y - 7z = 4$ .

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1. Planteamos. El ángulo entre dos planos es el que forman sus normales, con la misma consideración del valor absoluto.

2. Leemos los normales de las ecuaciones. $n_1 = (1; 6; -4)$ y $n_2 = (-2; -5; -7)$

3. Calculamos. $|n_1 \cdot n_2| = 4$ , $|n_1| = \sqrt{53}$ , $|n_2| = \sqrt{78}$

4. Hallamos el ángulo. $\theta \approx 86{,}43^\circ$

5. Observamos. Los términos independientes no intervienen: solo cambian dónde están los planos, no su inclinación.

Respuesta: el ángulo es de aproximadamente $86{,}43^\circ$

7. Calculá el ángulo entre la recta de director $d = (-4; -9; -2)$ y el plano de normal $n = (7; 4; -5)$ .

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1. Detectamos la trampa. El ángulo entre el director y el normal no es el que se busca. Cuando la recta es casi paralela al plano, esos dos vectores son casi perpendiculares.

2. Usamos el seno. Por eso en este caso se usa el seno en vez del coseno, que equivale a restar de noventa grados el ángulo entre director y normal.

3. Calculamos. $|d \cdot n| = 54$ , $|d| = \sqrt{101}$ , $|n| = \sqrt{90}$

4. Hallamos el ángulo. $\operatorname{sen}\theta = \dfrac{54}{\sqrt{101}\cdot\sqrt{90}}$ , de donde $\theta \approx 34{,}5^\circ$

5. Controlamos con los casos extremos. Si la recta estuviera contenida en el plano el ángulo sería cero, y si fuera perpendicular al plano sería recto.

Respuesta: el ángulo es de aproximadamente $34{,}5^\circ$

8. La recta tiene director $d = (4; -10; 18)$ y el plano tiene normal $n = (2; -5; 9)$ . Calculá el ángulo entre ellos e interpretá el resultado.

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1. Comparamos los dos vectores. $(4; -10; 18)$ es múltiplo de $(2; -5; 9)$ , así que el director de la recta y el normal del plano son paralelos.

2. Aplicamos la fórmula. $\operatorname{sen}\theta = \dfrac{|d \cdot n|}{|d|\,|n|} = 1$

3. Hallamos el ángulo. $\theta = 90^\circ$

4. Interpretamos. La recta es perpendicular al plano. Tiene sentido: si el director apunta en la misma dirección que el normal, la recta atraviesa el plano formando ángulo recto.

5. Controlamos. Es uno de los dos casos extremos que sirven para chequear resultados. El otro es la recta contenida en el plano, que da ángulo cero.

Respuesta: el ángulo es de $90^\circ$ : la recta es perpendicular al plano

9. Calculá el ángulo entre las rectas de directores $d_1 = (1; 5; 9)$ y $d_2 = (6; 6; -2)$ .

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1. Planteamos. El ángulo entre dos rectas es el que forman sus directores.

2. Usamos valor absoluto. Los directores pueden apuntar para cualquiera de los dos lados, así que se toma el valor absoluto del producto escalar para quedarse siempre con el ángulo agudo.

3. Calculamos. $|d_1 \cdot d_2| = 18$ , $|d_1| = \sqrt{107}$ , $|d_2| = \sqrt{76}$

4. Hallamos el ángulo. $\cos\theta = \dfrac{18}{\sqrt{107}\cdot\sqrt{76}}$ , de donde $\theta \approx 78{,}49^\circ$

5. Controlamos. Sin el valor absoluto podría salir un ángulo obtuso, que no es el que se busca entre rectas.

Respuesta: el ángulo es de aproximadamente $78{,}49^\circ$

10. Calculá el ángulo entre los planos $\pi_1: -9x - 2y - 7z = 4$ y $\pi_2: 7x + 5y + 9z = 7$ .

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1. Planteamos. El ángulo entre dos planos es el que forman sus normales, con la misma consideración del valor absoluto.

2. Leemos los normales de las ecuaciones. $n_1 = (-9; -2; -7)$ y $n_2 = (7; 5; 9)$

3. Calculamos. $|n_1 \cdot n_2| = 136$ , $|n_1| = \sqrt{134}$ , $|n_2| = \sqrt{155}$

4. Hallamos el ángulo. $\theta \approx 19{,}32^\circ$

5. Observamos. Los términos independientes no intervienen: solo cambian dónde están los planos, no su inclinación.

Respuesta: el ángulo es de aproximadamente $19{,}32^\circ$

11. Calculá el ángulo entre la recta de director $d = (4; 2; -3)$ y el plano de normal $n = (-7; 5; 3)$ .

Ver solución

1. Detectamos la trampa. El ángulo entre el director y el normal no es el que se busca. Cuando la recta es casi paralela al plano, esos dos vectores son casi perpendiculares.

2. Usamos el seno. Por eso en este caso se usa el seno en vez del coseno, que equivale a restar de noventa grados el ángulo entre director y normal.

3. Calculamos. $|d \cdot n| = 27$ , $|d| = \sqrt{29}$ , $|n| = \sqrt{83}$

4. Hallamos el ángulo. $\operatorname{sen}\theta = \dfrac{27}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{83}}$ , de donde $\theta \approx 33{,}39^\circ$

5. Controlamos con los casos extremos. Si la recta estuviera contenida en el plano el ángulo sería cero, y si fuera perpendicular al plano sería recto.

Respuesta: el ángulo es de aproximadamente $33{,}39^\circ$

12. La recta tiene director $d = (-3; 3; 12)$ y el plano tiene normal $n = (-1; 1; 4)$ . Calculá el ángulo entre ellos e interpretá el resultado.

Ver solución

1. Comparamos los dos vectores. $(-3; 3; 12)$ es múltiplo de $(-1; 1; 4)$ , así que el director de la recta y el normal del plano son paralelos.

2. Aplicamos la fórmula. $\operatorname{sen}\theta = \dfrac{|d \cdot n|}{|d|\,|n|} = 1$

3. Hallamos el ángulo. $\theta = 90^\circ$

4. Interpretamos. La recta es perpendicular al plano. Tiene sentido: si el director apunta en la misma dirección que el normal, la recta atraviesa el plano formando ángulo recto.

5. Controlamos. Es uno de los dos casos extremos que sirven para chequear resultados. El otro es la recta contenida en el plano, que da ángulo cero.

Respuesta: el ángulo es de $90^\circ$ : la recta es perpendicular al plano

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