Método

Ejercicios: Distancias con planos

d=∣ax0+by0+cz0−d∣/a2+b2+c2d = |a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} - d| / \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá la distancia del punto P=(5;−8;1)P = (5; -8; 1) al plano x+y+z=5x + y + z = 5.

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1. Escribimos la fórmula. Se reemplaza el punto en la ecuación, se resta el término independiente, se toma valor absoluto y se divide por el módulo del normal.

2. Reemplazamos el punto. 1⋅(5)+1⋅(−8)+1⋅(1)−(5)=−71 \cdot (5) + 1 \cdot (-8) + 1 \cdot (1) - (5) = -7

3. Tomamos valor absoluto. ∣−7∣=7|-7| = 7

4. Dividimos por el módulo del normal. d=73≈4,0415d = \dfrac{7}{\sqrt{3}} \approx 4{,}0415

5. Controlamos. El signo del numerador solo dice de qué lado del plano quedó el punto. La distancia siempre es positiva.

Respuesta: la distancia es 73≈4,0415\dfrac{7}{\sqrt{3}} \approx 4{,}0415

2. Calculá la distancia entre los planos paralelos 7x+8y+5z=67x + 8y + 5z = 6 y 7x+8y+5z=−87x + 8y + 5z = -8.

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1. Verificamos que son paralelos. Los dos tienen el mismo normal (7;8;5)(7; 8; 5), así que efectivamente son paralelos. Si no lo fueran, se cortarían y la distancia sería cero.

2. Elegimos la estrategia. La distancia entre dos planos paralelos es la de cualquier punto de uno al otro. Con la fórmula queda la diferencia de los términos independientes.

3. Aplicamos. d=∣6−(−8)∣138=14138d = \dfrac{|6 - (-8)|}{\sqrt{138}} = \dfrac{14}{\sqrt{138}}

4. Resolvemos. d≈1,1918d \approx 1{,}1918

5. Controlamos. Esta fórmula corta solo vale si los dos planos están escritos con exactamente los mismos coeficientes. Si uno está multiplicado por una constante, hay que normalizarlo primero.

Respuesta: la distancia es 14138≈1,1918\dfrac{14}{\sqrt{138}} \approx 1{,}1918

3. Calculá la distancia entre la recta (x;y;z)=(−7;4;7)+t (1;4;0)(x;y;z) = (-7; 4; 7) + t\,(1; 4; 0) y el plano −4x+y+5z=2-4x + y + 5z = 2.

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1. Verificamos que la distancia tenga sentido. d⋅n=0d \cdot n = 0, o sea cero, así que la recta es paralela al plano. Si se cortaran, la distancia sería cero.

2. Controlamos que no esté contenida. Reemplazando el punto base: 6767, que no coincide con 22. Entonces la recta no está en el plano.

3. Reducimos el problema. Como la recta es paralela, todos sus puntos están a la misma distancia del plano. Alcanza con calcular la de uno cualquiera.

4. Aplicamos la fórmula al punto base. d=∣65∣42≈10,0297d = \dfrac{|65|}{\sqrt{42}} \approx 10{,}0297

Respuesta: la distancia es 6542≈10,0297\dfrac{65}{\sqrt{42}} \approx 10{,}0297

4. Verificá que el punto P=(−6;4;3)P = (-6; 4; 3) pertenece al plano −5x+3y+3z=51-5x + 3y + 3z = 51 calculando su distancia.

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1. Anticipamos el resultado. Si el punto está en el plano, la distancia tiene que dar exactamente cero.

2. Reemplazamos el punto en la ecuación. (−5)⋅(−6)+3⋅(4)+3⋅(3)=51(-5) \cdot (-6) + 3 \cdot (4) + 3 \cdot (3) = 51

3. Restamos el término independiente. 51−51=051 - 51 = 0

4. Calculamos la distancia. d=∣0∣43=0d = \dfrac{|0|}{\sqrt{43}} = 0

5. Concluimos. La distancia es cero, así que el punto pertenece al plano. Es el control más rápido para saber si un punto está en un plano dado.

Respuesta: la distancia es 00, así que el punto pertenece al plano

5. Calculá la distancia del punto P=(9;1;−2)P = (9; 1; -2) al plano x−2y+4z=−7x - 2y + 4z = -7.

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1. Escribimos la fórmula. Se reemplaza el punto en la ecuación, se resta el término independiente, se toma valor absoluto y se divide por el módulo del normal.

2. Reemplazamos el punto. 1⋅(9)+(−2)⋅(1)+4⋅(−2)−(−7)=61 \cdot (9) + (-2) \cdot (1) + 4 \cdot (-2) - (-7) = 6

3. Tomamos valor absoluto. ∣6∣=6|6| = 6

4. Dividimos por el módulo del normal. d=621≈1,3093d = \dfrac{6}{\sqrt{21}} \approx 1{,}3093

5. Controlamos. El signo del numerador solo dice de qué lado del plano quedó el punto. La distancia siempre es positiva.

Respuesta: la distancia es 621≈1,3093\dfrac{6}{\sqrt{21}} \approx 1{,}3093

6. Calculá la distancia entre los planos paralelos −x+y+5z=8-x + y + 5z = 8 y −x+y+5z=−2-x + y + 5z = -2.

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1. Verificamos que son paralelos. Los dos tienen el mismo normal (−1;1;5)(-1; 1; 5), así que efectivamente son paralelos. Si no lo fueran, se cortarían y la distancia sería cero.

2. Elegimos la estrategia. La distancia entre dos planos paralelos es la de cualquier punto de uno al otro. Con la fórmula queda la diferencia de los términos independientes.

3. Aplicamos. d=∣8−(−2)∣27=1027d = \dfrac{|8 - (-2)|}{\sqrt{27}} = \dfrac{10}{\sqrt{27}}

4. Resolvemos. d≈1,9245d \approx 1{,}9245

5. Controlamos. Esta fórmula corta solo vale si los dos planos están escritos con exactamente los mismos coeficientes. Si uno está multiplicado por una constante, hay que normalizarlo primero.

Respuesta: la distancia es 1027≈1,9245\dfrac{10}{\sqrt{27}} \approx 1{,}9245

7. Calculá la distancia entre la recta (x;y;z)=(3;7;−3)+t (−3;9;0)(x;y;z) = (3; 7; -3) + t\,(-3; 9; 0) y el plano −9x−3y+4z=−2-9x - 3y + 4z = -2.

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1. Verificamos que la distancia tenga sentido. d⋅n=0d \cdot n = 0, o sea cero, así que la recta es paralela al plano. Si se cortaran, la distancia sería cero.

2. Controlamos que no esté contenida. Reemplazando el punto base: −60-60, que no coincide con −2-2. Entonces la recta no está en el plano.

3. Reducimos el problema. Como la recta es paralela, todos sus puntos están a la misma distancia del plano. Alcanza con calcular la de uno cualquiera.

4. Aplicamos la fórmula al punto base. d=∣−58∣106≈5,6335d = \dfrac{|-58|}{\sqrt{106}} \approx 5{,}6335

Respuesta: la distancia es 58106≈5,6335\dfrac{58}{\sqrt{106}} \approx 5{,}6335

8. Verificá que el punto P=(6;−6;2)P = (6; -6; 2) pertenece al plano x−y+2z=16x - y + 2z = 16 calculando su distancia.

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1. Anticipamos el resultado. Si el punto está en el plano, la distancia tiene que dar exactamente cero.

2. Reemplazamos el punto en la ecuación. 1⋅(6)+(−1)⋅(−6)+2⋅(2)=161 \cdot (6) + (-1) \cdot (-6) + 2 \cdot (2) = 16

3. Restamos el término independiente. 16−16=016 - 16 = 0

4. Calculamos la distancia. d=∣0∣6=0d = \dfrac{|0|}{\sqrt{6}} = 0

5. Concluimos. La distancia es cero, así que el punto pertenece al plano. Es el control más rápido para saber si un punto está en un plano dado.

Respuesta: la distancia es 00, así que el punto pertenece al plano

9. Calculá la distancia del punto P=(−2;7;8)P = (-2; 7; 8) al plano −9x−y−5z=7-9x - y - 5z = 7.

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1. Escribimos la fórmula. Se reemplaza el punto en la ecuación, se resta el término independiente, se toma valor absoluto y se divide por el módulo del normal.

2. Reemplazamos el punto. (−9)⋅(−2)+(−1)⋅(7)+(−5)⋅(8)−(7)=−36(-9) \cdot (-2) + (-1) \cdot (7) + (-5) \cdot (8) - (7) = -36

3. Tomamos valor absoluto. ∣−36∣=36|-36| = 36

4. Dividimos por el módulo del normal. d=36107≈3,4803d = \dfrac{36}{\sqrt{107}} \approx 3{,}4803

5. Controlamos. El signo del numerador solo dice de qué lado del plano quedó el punto. La distancia siempre es positiva.

Respuesta: la distancia es 36107≈3,4803\dfrac{36}{\sqrt{107}} \approx 3{,}4803

10. Calculá la distancia entre los planos paralelos −5x−8y+3z=1-5x - 8y + 3z = 1 y −5x−8y+3z=4-5x - 8y + 3z = 4.

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1. Verificamos que son paralelos. Los dos tienen el mismo normal (−5;−8;3)(-5; -8; 3), así que efectivamente son paralelos. Si no lo fueran, se cortarían y la distancia sería cero.

2. Elegimos la estrategia. La distancia entre dos planos paralelos es la de cualquier punto de uno al otro. Con la fórmula queda la diferencia de los términos independientes.

3. Aplicamos. d=∣1−(4)∣98=398d = \dfrac{|1 - (4)|}{\sqrt{98}} = \dfrac{3}{\sqrt{98}}

4. Resolvemos. d≈0,303d \approx 0{,}303

5. Controlamos. Esta fórmula corta solo vale si los dos planos están escritos con exactamente los mismos coeficientes. Si uno está multiplicado por una constante, hay que normalizarlo primero.

Respuesta: la distancia es 398≈0,303\dfrac{3}{\sqrt{98}} \approx 0{,}303

11. Calculá la distancia entre la recta (x;y;z)=(−3;1;−5)+t (−9;−1;0)(x;y;z) = (-3; 1; -5) + t\,(-9; -1; 0) y el plano x−9y+8z=4x - 9y + 8z = 4.

Ver solución

1. Verificamos que la distancia tenga sentido. d⋅n=0d \cdot n = 0, o sea cero, así que la recta es paralela al plano. Si se cortaran, la distancia sería cero.

2. Controlamos que no esté contenida. Reemplazando el punto base: −52-52, que no coincide con 44. Entonces la recta no está en el plano.

3. Reducimos el problema. Como la recta es paralela, todos sus puntos están a la misma distancia del plano. Alcanza con calcular la de uno cualquiera.

4. Aplicamos la fórmula al punto base. d=∣−56∣146≈4,6346d = \dfrac{|-56|}{\sqrt{146}} \approx 4{,}6346

Respuesta: la distancia es 56146≈4,6346\dfrac{56}{\sqrt{146}} \approx 4{,}6346

12. Verificá que el punto P=(−6;9;3)P = (-6; 9; 3) pertenece al plano −x+3y−7z=12-x + 3y - 7z = 12 calculando su distancia.

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1. Anticipamos el resultado. Si el punto está en el plano, la distancia tiene que dar exactamente cero.

2. Reemplazamos el punto en la ecuación. (−1)⋅(−6)+3⋅(9)+(−7)⋅(3)=12(-1) \cdot (-6) + 3 \cdot (9) + (-7) \cdot (3) = 12

3. Restamos el término independiente. 12−12=012 - 12 = 0

4. Calculamos la distancia. d=∣0∣59=0d = \dfrac{|0|}{\sqrt{59}} = 0

5. Concluimos. La distancia es cero, así que el punto pertenece al plano. Es el control más rápido para saber si un punto está en un plano dado.

Respuesta: la distancia es 00, así que el punto pertenece al plano

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