Distancias con planos

La distancia de un punto a un plano se calcula con una fórmula corta: se reemplaza el punto en la ecuación del plano, se toma el valor absoluto del resultado y se divide por el módulo del normal.

Para que la fórmula funcione, la ecuación del plano tiene que estar escrita con todo de un lado e igualada a cero. Si no, el resultado sale mal.

La distancia entre dos planos paralelos se calcula tomando un punto cualquiera de uno y aplicando la fórmula anterior con el otro. Si los planos no son paralelos, la distancia es cero, porque se cortan.

La distancia entre una recta y un plano paralelo funciona igual: se toma un punto de la recta y se calcula su distancia al plano.

El caso más laborioso es la distancia entre dos rectas alabeadas. Se resuelve con el producto mixto de los dos directores y un vector que una las dos rectas, dividido por el módulo del producto vectorial de los directores.

d = |a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} - d| / \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide una distancia que involucre un plano. Verificá que la ecuación esté igualada a cero antes de aplicar la fórmula. Entre figuras paralelas, tomá un punto de una y medí a la otra.

Ejemplo 1

Calcular la distancia de $P(3, 3, 3)$ al plano $x + 2y + 2z = 3$ .

Reemplazamos el punto en el miembro izquierdo. $3 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 3 + 6 + 6 = 15$ .
Restamos el término independiente. $15 - 3 = 12$ .
Calculamos el módulo de la normal. $|(1, 2, 2)| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ .
Dividimos y tomamos valor absoluto. $d = |12| / 3 = 4$ .
Verificamos que sea razonable. El punto está afuera del plano, así que la distancia tenía que dar distinta de cero.
Respuesta: $d = 4$

Ejemplo 2

Calcular la distancia entre los planos paralelos $2x - y + 2z = 3$ y $2x - y + 2z = 9$ .

Verificamos que sean paralelos. Las dos normales son $(2, -1, 2)$ : son el mismo vector, así que los planos son paralelos.
Elegimos un punto cómodo del primero. Con $y = z = 0$ queda $2x = 3$ , o sea $(3/2, 0, 0)$ .
Reemplazamos ese punto en el segundo plano. $2 \cdot (3/2) = 3$ , y hay que restar el $9$ : $3 - 9 = -6$ .
Calculamos el módulo de la normal. $|(2, -1, 2)| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ .
Dividimos. $d = |-6| / 3 = 2$ . El signo negativo solo indicaba de qué lado quedó el punto elegido.
Respuesta: $d = 2$

Error típico

Aplicar la fórmula sin pasar el término independiente al mismo lado. Con el plano escrito como $2x + y - z = 6$ , el numerador es $|2x_{0} + y_{0} - z_{0} - 6| y$ no $|2x_{0} + y_{0} - z_{0} + 6|$ . Un signo mal ahí cambia el resultado sin que nada avise.

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