Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular que los une. Es la más corta de todas las distancias posibles.

Hay dos caminos. El primero es geométrico: se arma el vector que va de un punto de la recta al punto dado, y se calcula el módulo de su componente perpendicular al director.

Eso se puede hacer restándole la proyección sobre el director, o directamente con el producto vectorial: el módulo del producto vectorial dividido por el módulo del director da la distancia.

El segundo camino es más largo pero más intuitivo: se halla el punto de la recta más cercano al dado, planteando que el vector que los une sea perpendicular al director, y después se calcula la distancia entre los dos puntos.

El primer método es más rápido para calcular la distancia. El segundo conviene cuando el ejercicio además pide el punto de la recta más cercano, que es un pedido frecuente.

d = |a x_{0} + b y_{0} + c| / \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide la distancia de un punto a una recta. Si solo pide el número, usá el producto vectorial. Si además pide el punto más cercano, planteá la perpendicularidad y despejá el parámetro.

Ejemplo 1

Calcular la distancia de $P(5, 5)$ a la recta $4x + 3y - 12 = 0$ .

Verificamos que la ecuación esté igualada a cero. Ya lo está. Si estuviera como $4x + 3y = 12$ habría que pasar el $12$ restando.
Reemplazamos el punto en la ecuación. $4 \cdot 5 + 3 \cdot 5 - 12 = 20 + 15 - 12 = 23$ .
Calculamos el módulo del normal. $|(4, 3)| = \sqrt{16 + 9} = 5$ .
Dividimos y tomamos valor absoluto. $d = |23| / 5 = 23/5$ .
Interpretamos. $23/5$ es $4{,}6$ . El punto está a poco menos de cinco unidades de la recta.
Respuesta: $d = 23/5$

Ejemplo 2

Calcular la distancia del punto $P(0, 3, 4)$ a la recta que pasa por el origen con director $d = (1, 0, 0)$ .

Estamos en el espacio, así que va la otra fórmula. Hace falta el producto vectorial entre el vector que une los puntos y el director.
Armamos ese vector. De un punto de la recta, el origen, al punto dado: $(0, 3, 4)$ .
Calculamos el producto vectorial. $(0, 3, 4) \times (1, 0, 0) = (0 \cdot 0 - 4 \cdot 0, 4 \cdot 1 \cdot 0, 0 - 3) = (0, 4, -3)$ .
Tomamos el módulo del numerador. $|(0, 4, -3)| = \sqrt{16 + 9} = 5$ .
Dividimos por el módulo del director. $|d| = 1$ , así que $d = 5/1 = 5$ . Tiene sentido: la recta es el eje $x$ y el punto está a distancia $\sqrt{9 + 16} = 5$ de ese eje.
Respuesta: $d = 5$

Error típico

Olvidar el valor absoluto del numerador. Al reemplazar el punto en la ecuación el resultado puede dar negativo, y eso solo indica de qué lado de la recta quedó el punto. La distancia es un módulo y nunca es negativa.

Practicar

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Otros subtemas de Vectores, rectas y planos

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