Método

Ejercicios: Distancia de un punto a una recta

d=∣ax0+by0+c∣/a2+b2d = |a x_{0} + b y_{0} + c| / \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá la distancia del punto A=(−3;−3;−8)A = (-3; -3; -8) a la recta (x;y;z)=(−2;−1;−9)+t (−7;4;4)(x;y;z) = (-2; -1; -9) + t\,(-7; 4; 4).

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1. Elegimos el método. Cuando solo se pide el número, el camino más corto es el del producto vectorial: el módulo de PA⃗×d\vec{PA} \times d dividido por el módulo de dd.

2. Armamos el vector desde la recta hasta el punto. PA⃗=A−P=(−1;−2;1)\vec{PA} = A - P = (-1; -2; 1)

3. Calculamos el producto vectorial. PA⃗×d=(−12;−3;−18)\vec{PA} \times d = (-12; -3; -18), con módulo 477\sqrt{477}.

4. Dividimos por el módulo del director. d(A,L)=47781=539≈2,4267d(A, L) = \dfrac{\sqrt{477}}{\sqrt{81}} = \sqrt{\dfrac{53}{9}} \approx 2{,}4267

5. Controlamos. Una distancia nunca es negativa. Si el producto vectorial hubiera dado el vector nulo, el punto estaría sobre la recta y la distancia sería cero.

Respuesta: la distancia es 539≈2,4267\sqrt{\dfrac{53}{9}} \approx 2{,}4267

2. Hallá el punto de la recta (x;y;z)=(−9;−2;2)+t (4;−4;9)(x;y;z) = (-9; -2; 2) + t\,(4; -4; 9) más cercano a A=(5;−4;−7)A = (5; -4; -7).

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1. Planteamos la condición. El punto más cercano es aquel donde el vector que lo une con AA resulta perpendicular al director de la recta.

2. Escribimos el vector genérico. Un punto cualquiera de la recta es Q(t)=(−9;−2;2)+t (4;−4;9)Q(t) = (-9; -2; 2) + t\,(4; -4; 9), y el vector QA⃗\vec{QA} depende de tt.

3. Imponemos perpendicularidad. QA⃗⋅d=0\vec{QA} \cdot d = 0 lleva a t=PA⃗⋅d∣d∣2=−17113=−17113t = \dfrac{\vec{PA} \cdot d}{|d|^2} = \dfrac{-17}{113} = - \dfrac{17}{113}

4. Reemplazamos ese parámetro. Q=(−1085113;−158113;73113)Q = (- \dfrac{1085}{113}; - \dfrac{158}{113}; \dfrac{73}{113})

5. Observamos. Este método es más largo que el del producto vectorial, pero es el que hay que usar cuando el ejercicio pide además el punto, no solo la distancia.

Respuesta: el punto más cercano es Q=(−1085113;−158113;73113)Q = (- \dfrac{1085}{113}; - \dfrac{158}{113}; \dfrac{73}{113})

3. Calculá la distancia del punto P=(−1;−2)P = (-1; -2) a la recta −9x−2y=6-9x - 2y = 6.

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1. Usamos la fórmula del plano. Para una recta dada en forma implícita hay una fórmula directa: se reemplaza el punto en la ecuación, se toma valor absoluto y se divide por el módulo del vector de coeficientes.

2. Reemplazamos el punto. (−9)⋅(−1)+(−2)⋅(−2)−6=7(-9) \cdot (-1) + (-2) \cdot (-2) - 6 = 7

3. Tomamos valor absoluto. ∣7∣=7|7| = 7

4. Dividimos por el módulo de los coeficientes. d=781+4≈0,7593d = \dfrac{7}{\sqrt{81 + 4}} \approx 0{,}7593

5. Controlamos. El valor absoluto no es opcional. El signo del numerador solo indica de qué lado de la recta quedó el punto, y una distancia nunca es negativa.

Respuesta: la distancia es 785≈0,7593\dfrac{7}{\sqrt{85}} \approx 0{,}7593

4. Verificá que el punto A=(−3;−14;5)A = (-3; -14; 5) está sobre la recta (x;y;z)=(−5;−5;−1)+t (2;−9;6)(x;y;z) = (-5; -5; -1) + t\,(2; -9; 6) calculando su distancia.

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1. Anticipamos qué esperamos. Si el punto está sobre la recta, la distancia tiene que dar exactamente cero.

2. Armamos el vector. PA⃗=A−P=(2;−9;6)\vec{PA} = A - P = (2; -9; 6)

3. Calculamos el producto vectorial con el director. PA⃗×d=(0;0;0)\vec{PA} \times d = (0; 0; 0), que es el vector nulo.

4. Concluimos. El módulo del vector nulo es cero, así que la distancia es cero y el punto pertenece a la recta.

5. Observamos. Tiene sentido: PA⃗=1 d\vec{PA} = 1\,d, o sea que es paralelo al director. Un vector paralelo da producto vectorial nulo.

Respuesta: la distancia es 00, así que el punto pertenece a la recta

5. Calculá la distancia del punto A=(−7;−7;−6)A = (-7; -7; -6) a la recta (x;y;z)=(−4;2;8)+t (8;4;8)(x;y;z) = (-4; 2; 8) + t\,(8; 4; 8).

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1. Elegimos el método. Cuando solo se pide el número, el camino más corto es el del producto vectorial: el módulo de PA⃗×d\vec{PA} \times d dividido por el módulo de dd.

2. Armamos el vector desde la recta hasta el punto. PA⃗=A−P=(−3;−9;−14)\vec{PA} = A - P = (-3; -9; -14)

3. Calculamos el producto vectorial. PA⃗×d=(−16;−88;60)\vec{PA} \times d = (-16; -88; 60), con módulo 11600\sqrt{11600}.

4. Dividimos por el módulo del director. d(A,L)=11600144=7259≈8,9753d(A, L) = \dfrac{\sqrt{11600}}{\sqrt{144}} = \sqrt{\dfrac{725}{9}} \approx 8{,}9753

5. Controlamos. Una distancia nunca es negativa. Si el producto vectorial hubiera dado el vector nulo, el punto estaría sobre la recta y la distancia sería cero.

Respuesta: la distancia es 7259≈8,9753\sqrt{\dfrac{725}{9}} \approx 8{,}9753

6. Hallá el punto de la recta (x;y;z)=(−3;−9;−2)+t (−3;3;−7)(x;y;z) = (-3; -9; -2) + t\,(-3; 3; -7) más cercano a A=(7;7;−1)A = (7; 7; -1).

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1. Planteamos la condición. El punto más cercano es aquel donde el vector que lo une con AA resulta perpendicular al director de la recta.

2. Escribimos el vector genérico. Un punto cualquiera de la recta es Q(t)=(−3;−9;−2)+t (−3;3;−7)Q(t) = (-3; -9; -2) + t\,(-3; 3; -7), y el vector QA⃗\vec{QA} depende de tt.

3. Imponemos perpendicularidad. QA⃗⋅d=0\vec{QA} \cdot d = 0 lleva a t=PA⃗⋅d∣d∣2=1167t = \dfrac{\vec{PA} \cdot d}{|d|^2} = \dfrac{11}{67}

4. Reemplazamos ese parámetro. Q=(−23467;−57067;−21167)Q = (- \dfrac{234}{67}; - \dfrac{570}{67}; - \dfrac{211}{67})

5. Observamos. Este método es más largo que el del producto vectorial, pero es el que hay que usar cuando el ejercicio pide además el punto, no solo la distancia.

Respuesta: el punto más cercano es Q=(−23467;−57067;−21167)Q = (- \dfrac{234}{67}; - \dfrac{570}{67}; - \dfrac{211}{67})

7. Calculá la distancia del punto P=(1;−4)P = (1; -4) a la recta 5x−5y=−65x - 5y = -6.

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1. Usamos la fórmula del plano. Para una recta dada en forma implícita hay una fórmula directa: se reemplaza el punto en la ecuación, se toma valor absoluto y se divide por el módulo del vector de coeficientes.

2. Reemplazamos el punto. 5⋅(1)+(−5)⋅(−4)+6=315 \cdot (1) + (-5) \cdot (-4) + 6 = 31

3. Tomamos valor absoluto. ∣31∣=31|31| = 31

4. Dividimos por el módulo de los coeficientes. d=3125+25≈4,3841d = \dfrac{31}{\sqrt{25 + 25}} \approx 4{,}3841

5. Controlamos. El valor absoluto no es opcional. El signo del numerador solo indica de qué lado de la recta quedó el punto, y una distancia nunca es negativa.

Respuesta: la distancia es 3150≈4,3841\dfrac{31}{\sqrt{50}} \approx 4{,}3841

8. Verificá que el punto A=(−7;6;15)A = (-7; 6; 15) está sobre la recta (x;y;z)=(1;7;8)+t (8;1;−7)(x;y;z) = (1; 7; 8) + t\,(8; 1; -7) calculando su distancia.

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1. Anticipamos qué esperamos. Si el punto está sobre la recta, la distancia tiene que dar exactamente cero.

2. Armamos el vector. PA⃗=A−P=(−8;−1;7)\vec{PA} = A - P = (-8; -1; 7)

3. Calculamos el producto vectorial con el director. PA⃗×d=(0;0;0)\vec{PA} \times d = (0; 0; 0), que es el vector nulo.

4. Concluimos. El módulo del vector nulo es cero, así que la distancia es cero y el punto pertenece a la recta.

5. Observamos. Tiene sentido: PA⃗=−1 d\vec{PA} = -1\,d, o sea que es paralelo al director. Un vector paralelo da producto vectorial nulo.

Respuesta: la distancia es 00, así que el punto pertenece a la recta

9. Calculá la distancia del punto A=(−8;−2;−5)A = (-8; -2; -5) a la recta (x;y;z)=(9;−4;−3)+t (7;8;−6)(x;y;z) = (9; -4; -3) + t\,(7; 8; -6).

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1. Elegimos el método. Cuando solo se pide el número, el camino más corto es el del producto vectorial: el módulo de PA⃗×d\vec{PA} \times d dividido por el módulo de dd.

2. Armamos el vector desde la recta hasta el punto. PA⃗=A−P=(−17;2;−2)\vec{PA} = A - P = (-17; 2; -2)

3. Calculamos el producto vectorial. PA⃗×d=(4;−116;−150)\vec{PA} \times d = (4; -116; -150), con módulo 35972\sqrt{35972}.

4. Dividimos por el módulo del director. d(A,L)=35972149=35972149≈15,5378d(A, L) = \dfrac{\sqrt{35972}}{\sqrt{149}} = \sqrt{\dfrac{35972}{149}} \approx 15{,}5378

5. Controlamos. Una distancia nunca es negativa. Si el producto vectorial hubiera dado el vector nulo, el punto estaría sobre la recta y la distancia sería cero.

Respuesta: la distancia es 35972149≈15,5378\sqrt{\dfrac{35972}{149}} \approx 15{,}5378

10. Hallá el punto de la recta (x;y;z)=(3;1;5)+t (5;3;−1)(x;y;z) = (3; 1; 5) + t\,(5; 3; -1) más cercano a A=(−1;3;−8)A = (-1; 3; -8).

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1. Planteamos la condición. El punto más cercano es aquel donde el vector que lo une con AA resulta perpendicular al director de la recta.

2. Escribimos el vector genérico. Un punto cualquiera de la recta es Q(t)=(3;1;5)+t (5;3;−1)Q(t) = (3; 1; 5) + t\,(5; 3; -1), y el vector QA⃗\vec{QA} depende de tt.

3. Imponemos perpendicularidad. QA⃗⋅d=0\vec{QA} \cdot d = 0 lleva a t=PA⃗⋅d∣d∣2=−135=−135t = \dfrac{\vec{PA} \cdot d}{|d|^2} = \dfrac{-1}{35} = - \dfrac{1}{35}

4. Reemplazamos ese parámetro. Q=(207;3235;17635)Q = (\dfrac{20}{7}; \dfrac{32}{35}; \dfrac{176}{35})

5. Observamos. Este método es más largo que el del producto vectorial, pero es el que hay que usar cuando el ejercicio pide además el punto, no solo la distancia.

Respuesta: el punto más cercano es Q=(207;3235;17635)Q = (\dfrac{20}{7}; \dfrac{32}{35}; \dfrac{176}{35})

11. Calculá la distancia del punto P=(8;5)P = (8; 5) a la recta −5x−6y=−4-5x - 6y = -4.

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1. Usamos la fórmula del plano. Para una recta dada en forma implícita hay una fórmula directa: se reemplaza el punto en la ecuación, se toma valor absoluto y se divide por el módulo del vector de coeficientes.

2. Reemplazamos el punto. (−5)⋅(8)+(−6)⋅(5)+4=−66(-5) \cdot (8) + (-6) \cdot (5) + 4 = -66

3. Tomamos valor absoluto. ∣−66∣=66|-66| = 66

4. Dividimos por el módulo de los coeficientes. d=6625+36≈8,4504d = \dfrac{66}{\sqrt{25 + 36}} \approx 8{,}4504

5. Controlamos. El valor absoluto no es opcional. El signo del numerador solo indica de qué lado de la recta quedó el punto, y una distancia nunca es negativa.

Respuesta: la distancia es 6661≈8,4504\dfrac{66}{\sqrt{61}} \approx 8{,}4504

12. Verificá que el punto A=(0;13;−4)A = (0; 13; -4) está sobre la recta (x;y;z)=(−7;6;1)+t (−7;−7;5)(x;y;z) = (-7; 6; 1) + t\,(-7; -7; 5) calculando su distancia.

Ver solución

1. Anticipamos qué esperamos. Si el punto está sobre la recta, la distancia tiene que dar exactamente cero.

2. Armamos el vector. PA⃗=A−P=(7;7;−5)\vec{PA} = A - P = (7; 7; -5)

3. Calculamos el producto vectorial con el director. PA⃗×d=(0;0;0)\vec{PA} \times d = (0; 0; 0), que es el vector nulo.

4. Concluimos. El módulo del vector nulo es cero, así que la distancia es cero y el punto pertenece a la recta.

5. Observamos. Tiene sentido: PA⃗=−1 d\vec{PA} = -1\,d, o sea que es paralelo al director. Un vector paralelo da producto vectorial nulo.

Respuesta: la distancia es 00, así que el punto pertenece a la recta

Integradores de Vectores, rectas y planos: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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