Método

Ejercicios: Posiciones relativas entre rectas

(d1×d2)⋅P1P2=0(d_{1} \times d_{2}) \cdot P_{1}P_{2} = 0 si son coplanares

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Determiná la posición relativa de L1:(x;y;z)=(−9;−1;1)+t (7;4;−3)L_1: (x;y;z) = (-9; -1; 1) + t\,(7; 4; -3) y L2:(x;y;z)=(−10;−2;0)+s (21;12;−9)L_2: (x;y;z) = (-10; -2; 0) + s\,(21; 12; -9).

Ver solución

1. Empezamos por los directores. El primer paso siempre es comparar direcciones: eso separa el caso paralelo del que no lo es.

2. Comparamos. (21;12;−9)=3 (7;4;−3)(21; 12; -9) = 3\,(7; 4; -3), así que los directores son paralelos. Entonces las rectas son paralelas o coincidentes.

3. Distinguimos con un punto. Tomamos (−10;−2;0)(-10; -2; 0), que está en L2L_2, y vemos si pertenece a L1L_1. Al despejar el parámetro de la primera coordenada y controlar con las otras, no se cumple.

4. Concluimos. Los directores son paralelos pero no comparten puntos, así que las rectas son paralelas y distintas.

Respuesta: las rectas son paralelas y distintas

2. Determiná la posición relativa de L1:(x;y;z)=(4;−3;−9)+t (−3;−2;5)L_1: (x;y;z) = (4; -3; -9) + t\,(-3; -2; 5) y L2:(x;y;z)=(−3;−14;2)+s (−4;−9;6)L_2: (x;y;z) = (-3; -14; 2) + s\,(-4; -9; 6), y si se cortan hallá el punto.

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1. Comparamos los directores. (−3;−2;5)(-3; -2; 5) y (−4;−9;6)(-4; -9; 6) no son múltiplos uno del otro, así que las rectas no son paralelas. Quedan dos posibilidades: se cortan o son alabeadas.

2. Igualamos las dos rectas. Planteamos el sistema que iguala coordenada a coordenada. Cada recta lleva su propio parámetro: tt para la primera y ss para la segunda.

3. Resolvemos el sistema. De las dos primeras ecuaciones salen t=1t = 1 y s=−1s = -1, y esos valores también verifican la tercera.

4. Hallamos el punto. Reemplazando t=1t = 1 en L1L_1 queda (1;−5;−4)(1; -5; -4), que es el punto de corte.

5. Controlamos. Usar la misma letra para los dos parámetros es el error más común y da resultados falsos.

Respuesta: las rectas se cortan en el punto (1;−5;−4)(1; -5; -4)

3. Determiná la posición relativa de L1:(x;y;z)=(−9;8;−9)+t (−9;−8;9)L_1: (x;y;z) = (-9; 8; -9) + t\,(-9; -8; 9) y L2:(x;y;z)=(−2;6;−3)+s (−5;−6;3)L_2: (x;y;z) = (-2; 6; -3) + s\,(-5; -6; 3).

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1. Comparamos los directores. No son múltiplos uno del otro, así que las rectas no son paralelas ni coincidentes.

2. Usamos el criterio de coplanaridad. Dos rectas se cortan solo si son coplanares. Eso se controla con el producto mixto entre los dos directores y el vector que une un punto de cada una.

3. Calculamos el producto mixto. (d1×d2)⋅P1P2⃗=330(d_1 \times d_2) \cdot \vec{P_1P_2} = 330, distinto de cero.

4. Concluimos. Como el producto mixto no da cero, las rectas no están en un mismo plano. No son paralelas y tampoco se cortan: son alabeadas.

5. Controlamos. Que el sistema no tenga solución no alcanza para decir paralelas. Eso también pasa con las alabeadas. La diferencia la deciden los directores.

Respuesta: las rectas son alabeadas

4. Determiná la posición relativa de L1:(x;y;z)=(−2;−2;8)+t (5;8;−7)L_1: (x;y;z) = (-2; -2; 8) + t\,(5; 8; -7) y L2:(x;y;z)=(3;6;1)+s (15;24;−21)L_2: (x;y;z) = (3; 6; 1) + s\,(15; 24; -21).

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1. Comparamos los directores. (15;24;−21)=3 (5;8;−7)(15; 24; -21) = 3\,(5; 8; -7): son paralelos, así que las rectas son paralelas o coincidentes.

2. Tomamos un punto de una y lo probamos en la otra. El punto (3;6;1)(3; 6; 1) pertenece a L2L_2. Vemos si está en L1L_1.

3. Despejamos el parámetro. Con t=1t = 1 las tres coordenadas de L1L_1 dan exactamente (3;6;1)(3; 6; 1).

4. Concluimos. Comparten dirección y comparten un punto, así que son la misma recta escrita de dos formas: son coincidentes.

Respuesta: las rectas son coincidentes

5. Determiná la posición relativa de L1:(x;y;z)=(−1;4;−9)+t (3;−4;−7)L_1: (x;y;z) = (-1; 4; -9) + t\,(3; -4; -7) y L2:(x;y;z)=(−2;5;−8)+s (−6;8;14)L_2: (x;y;z) = (-2; 5; -8) + s\,(-6; 8; 14).

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1. Empezamos por los directores. El primer paso siempre es comparar direcciones: eso separa el caso paralelo del que no lo es.

2. Comparamos. (−6;8;14)=−2 (3;−4;−7)(-6; 8; 14) = -2\,(3; -4; -7), así que los directores son paralelos. Entonces las rectas son paralelas o coincidentes.

3. Distinguimos con un punto. Tomamos (−2;5;−8)(-2; 5; -8), que está en L2L_2, y vemos si pertenece a L1L_1. Al despejar el parámetro de la primera coordenada y controlar con las otras, no se cumple.

4. Concluimos. Los directores son paralelos pero no comparten puntos, así que las rectas son paralelas y distintas.

Respuesta: las rectas son paralelas y distintas

6. Determiná la posición relativa de L1:(x;y;z)=(−6;11;14)+t (1;−2;−9)L_1: (x;y;z) = (-6; 11; 14) + t\,(1; -2; -9) y L2:(x;y;z)=(−22;−11;−18)+s (9;9;7)L_2: (x;y;z) = (-22; -11; -18) + s\,(9; 9; 7), y si se cortan hallá el punto.

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1. Comparamos los directores. (1;−2;−9)(1; -2; -9) y (9;9;7)(9; 9; 7) no son múltiplos uno del otro, así que las rectas no son paralelas. Quedan dos posibilidades: se cortan o son alabeadas.

2. Igualamos las dos rectas. Planteamos el sistema que iguala coordenada a coordenada. Cada recta lleva su propio parámetro: tt para la primera y ss para la segunda.

3. Resolvemos el sistema. De las dos primeras ecuaciones salen t=2t = 2 y s=2s = 2, y esos valores también verifican la tercera.

4. Hallamos el punto. Reemplazando t=2t = 2 en L1L_1 queda (−4;7;−4)(-4; 7; -4), que es el punto de corte.

5. Controlamos. Usar la misma letra para los dos parámetros es el error más común y da resultados falsos.

Respuesta: las rectas se cortan en el punto (−4;7;−4)(-4; 7; -4)

7. Determiná la posición relativa de L1:(x;y;z)=(3;−1;1)+t (−3;−6;−3)L_1: (x;y;z) = (3; -1; 1) + t\,(-3; -6; -3) y L2:(x;y;z)=(−8;8;−2)+s (3;−4;4)L_2: (x;y;z) = (-8; 8; -2) + s\,(3; -4; 4).

Ver solución

1. Comparamos los directores. No son múltiplos uno del otro, así que las rectas no son paralelas ni coincidentes.

2. Usamos el criterio de coplanaridad. Dos rectas se cortan solo si son coplanares. Eso se controla con el producto mixto entre los dos directores y el vector que une un punto de cada una.

3. Calculamos el producto mixto. (d1×d2)⋅P1P2⃗=333(d_1 \times d_2) \cdot \vec{P_1P_2} = 333, distinto de cero.

4. Concluimos. Como el producto mixto no da cero, las rectas no están en un mismo plano. No son paralelas y tampoco se cortan: son alabeadas.

5. Controlamos. Que el sistema no tenga solución no alcanza para decir paralelas. Eso también pasa con las alabeadas. La diferencia la deciden los directores.

Respuesta: las rectas son alabeadas

8. Determiná la posición relativa de L1:(x;y;z)=(−1;−2;8)+t (4;−3;−8)L_1: (x;y;z) = (-1; -2; 8) + t\,(4; -3; -8) y L2:(x;y;z)=(−5;1;16)+s (8;−6;−16)L_2: (x;y;z) = (-5; 1; 16) + s\,(8; -6; -16).

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1. Comparamos los directores. (8;−6;−16)=2 (4;−3;−8)(8; -6; -16) = 2\,(4; -3; -8): son paralelos, así que las rectas son paralelas o coincidentes.

2. Tomamos un punto de una y lo probamos en la otra. El punto (−5;1;16)(-5; 1; 16) pertenece a L2L_2. Vemos si está en L1L_1.

3. Despejamos el parámetro. Con t=−1t = -1 las tres coordenadas de L1L_1 dan exactamente (−5;1;16)(-5; 1; 16).

4. Concluimos. Comparten dirección y comparten un punto, así que son la misma recta escrita de dos formas: son coincidentes.

Respuesta: las rectas son coincidentes

9. Determiná la posición relativa de L1:(x;y;z)=(2;6;4)+t (−5;−8;3)L_1: (x;y;z) = (2; 6; 4) + t\,(-5; -8; 3) y L2:(x;y;z)=(3;7;3)+s (10;16;−6)L_2: (x;y;z) = (3; 7; 3) + s\,(10; 16; -6).

Ver solución

1. Empezamos por los directores. El primer paso siempre es comparar direcciones: eso separa el caso paralelo del que no lo es.

2. Comparamos. (10;16;−6)=−2 (−5;−8;3)(10; 16; -6) = -2\,(-5; -8; 3), así que los directores son paralelos. Entonces las rectas son paralelas o coincidentes.

3. Distinguimos con un punto. Tomamos (3;7;3)(3; 7; 3), que está en L2L_2, y vemos si pertenece a L1L_1. Al despejar el parámetro de la primera coordenada y controlar con las otras, no se cumple.

4. Concluimos. Los directores son paralelos pero no comparten puntos, así que las rectas son paralelas y distintas.

Respuesta: las rectas son paralelas y distintas

10. Determiná la posición relativa de L1:(x;y;z)=(−12;−7;2)+t (−8;2;−7)L_1: (x;y;z) = (-12; -7; 2) + t\,(-8; 2; -7) y L2:(x;y;z)=(−22;−1;−9)+s (9;−4;9)L_2: (x;y;z) = (-22; -1; -9) + s\,(9; -4; 9), y si se cortan hallá el punto.

Ver solución

1. Comparamos los directores. (−8;2;−7)(-8; 2; -7) y (9;−4;9)(9; -4; 9) no son múltiplos uno del otro, así que las rectas no son paralelas. Quedan dos posibilidades: se cortan o son alabeadas.

2. Igualamos las dos rectas. Planteamos el sistema que iguala coordenada a coordenada. Cada recta lleva su propio parámetro: tt para la primera y ss para la segunda.

3. Resolvemos el sistema. De las dos primeras ecuaciones salen t=−1t = -1 y s=2s = 2, y esos valores también verifican la tercera.

4. Hallamos el punto. Reemplazando t=−1t = -1 en L1L_1 queda (−4;−9;9)(-4; -9; 9), que es el punto de corte.

5. Controlamos. Usar la misma letra para los dos parámetros es el error más común y da resultados falsos.

Respuesta: las rectas se cortan en el punto (−4;−9;9)(-4; -9; 9)

11. Determiná la posición relativa de L1:(x;y;z)=(2;−1;−5)+t (−4;5;4)L_1: (x;y;z) = (2; -1; -5) + t\,(-4; 5; 4) y L2:(x;y;z)=(−6;9;4)+s (−5;−7;−2)L_2: (x;y;z) = (-6; 9; 4) + s\,(-5; -7; -2).

Ver solución

1. Comparamos los directores. No son múltiplos uno del otro, así que las rectas no son paralelas ni coincidentes.

2. Usamos el criterio de coplanaridad. Dos rectas se cortan solo si son coplanares. Eso se controla con el producto mixto entre los dos directores y el vector que une un punto de cada una.

3. Calculamos el producto mixto. (d1×d2)⋅P1P2⃗=53(d_1 \times d_2) \cdot \vec{P_1P_2} = 53, distinto de cero.

4. Concluimos. Como el producto mixto no da cero, las rectas no están en un mismo plano. No son paralelas y tampoco se cortan: son alabeadas.

5. Controlamos. Que el sistema no tenga solución no alcanza para decir paralelas. Eso también pasa con las alabeadas. La diferencia la deciden los directores.

Respuesta: las rectas son alabeadas

12. Determiná la posición relativa de L1:(x;y;z)=(1;−4;8)+t (4;−8;−6)L_1: (x;y;z) = (1; -4; 8) + t\,(4; -8; -6) y L2:(x;y;z)=(9;−20;−4)+s (8;−16;−12)L_2: (x;y;z) = (9; -20; -4) + s\,(8; -16; -12).

Ver solución

1. Comparamos los directores. (8;−16;−12)=2 (4;−8;−6)(8; -16; -12) = 2\,(4; -8; -6): son paralelos, así que las rectas son paralelas o coincidentes.

2. Tomamos un punto de una y lo probamos en la otra. El punto (9;−20;−4)(9; -20; -4) pertenece a L2L_2. Vemos si está en L1L_1.

3. Despejamos el parámetro. Con t=2t = 2 las tres coordenadas de L1L_1 dan exactamente (9;−20;−4)(9; -20; -4).

4. Concluimos. Comparten dirección y comparten un punto, así que son la misma recta escrita de dos formas: son coincidentes.

Respuesta: las rectas son coincidentes

Integradores de Vectores, rectas y planos: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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