Posiciones relativas entre rectas

En el espacio dos rectas pueden estar en cuatro situaciones, y decidir cuál es un ejercicio típico.

Pueden ser coincidentes, si son la misma recta escrita de dos formas. Pueden ser paralelas, si tienen la misma dirección pero no comparten puntos. Pueden cortarse en un punto. O pueden ser alabeadas, que es el caso que no existe en el plano: no son paralelas y tampoco se tocan.

El procedimiento tiene dos pasos. Primero se comparan los directores. Si son paralelos, las rectas son paralelas o coincidentes, y se distingue tomando un punto de una y viendo si pertenece a la otra.

Si los directores no son paralelos, hay que plantear el sistema que iguala las dos rectas. Si tiene solución, se cortan y esa solución da el punto. Si no tiene, son alabeadas.

Un detalle importante al plantear el sistema: cada recta tiene su propio parámetro y hay que usar letras distintas. Usar la misma letra para las dos es el error más común y da resultados falsos.

(d_{1} \times d_{2}) \cdot P_{1}P_{2} = 0

si son coplanares

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio da dos rectas y pide la posición relativa. Compará primero los directores. Si no son paralelos, igualá las rectas usando un parámetro distinto para cada una.

Ejemplo 1

Clasificar las rectas $r_{1}: (0, 0, 0) + t (1, 2, 1)$ y $r_{2}: (3, 1, 0) + s (2, 4, 2)$ .

Comparamos los directores. $(2, 4, 2)$ es el doble de $(1, 2, 1)$ , así que son paralelos.
Ya sabemos que no son alabeadas ni incidentes. Con directores paralelos solo quedan dos opciones: paralelas distintas o la misma recta.
Probamos si un punto de $r_{2}$ está en $r_{1}$ . Tendría que existir $t$ con $t (1, 2, 1) = (3, 1, 0)$ .
Buscamos ese t. La primera componente pide $t = 3$ , pero entonces la segunda daría $6$ y vale $1$ .
Concluimos. El punto no pertenece a $r_{1}$ , así que son dos rectas paralelas distintas.
Respuesta: son paralelas y distintas

Ejemplo 2

Clasificar las rectas $r_{1}: (0, 0, 0) + t (1, 0, 0)$ y $r_{2}: (0, 1, 1) + s (0, 1, 0)$ .

Comparamos los directores. $(1, 0, 0)$ y $(0, 1, 0)$ no son múltiplos, así que no son paralelas.
Armamos el vector que une un punto de cada una. $(0, 1, 1) - (0, 0, 0) = (0, 1, 1)$ .
Calculamos el producto vectorial de los directores. $(1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1)$ .
Cerramos el producto mixto. $(0, 0, 1) \cdot (0, 1, 1) = 1$ .
Concluimos. No da cero, así que no son coplanares: las rectas son alabeadas. La segunda pasa una unidad por encima de la primera.
Respuesta: son alabeadas

Error típico

Concluir que dos rectas son paralelas porque el sistema de ecuaciones no tiene solución. Que no se corten es cierto, pero eso pasa tanto con las paralelas como con las alabeadas. La diferencia la deciden los directores, no el sistema.

Practicar

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Otros subtemas de Vectores, rectas y planos

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