Suma, resta y producto por un escalar

Los vectores se suman componente a componente. Geométricamente eso es poner una flecha a continuación de la otra: el resultado va del origen de la primera al extremo de la segunda.

La resta también es componente a componente, y equivale a sumar el opuesto. Geométricamente da el vector que va del extremo del segundo al extremo del primero.

Multiplicar por un número cambia la longitud sin cambiar la dirección. Si el número es mayor que uno el vector se estira, si está entre cero y uno se acorta, y si es negativo además se da vuelta el sentido.

Estas operaciones cumplen las propiedades de siempre: la suma es conmutativa y asociativa, y el producto por un escalar distribuye sobre la suma. Eso permite trabajar con expresiones vectoriales como con expresiones algebraicas.

Lo que no existe es dividir un vector por otro. Hay dos productos entre vectores, que se ven más adelante, pero ninguna división.

u + v = (u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2})

Cuándo se usa

En cualquier cuenta con vectores. Se opera componente a componente. Si el ejercicio pide un vector con cierta dirección y cierto módulo, normalizá primero y después multiplicá por el módulo que quieras.

Ejemplo 1

Con $u = (3, -1)$ y $v = (-1, 4)$ , calcular $u + v$ y $u - v$ .

Sumamos las primeras componentes. $3 + (-1) = 2$ .
Sumamos las segundas. $-1 + 4 = 3$ . Entonces $u + v = (2, 3)$ .
Restamos las primeras. $3 + 1 = 3 + 1 = 4$ . Restar un negativo suma.
Restamos las segundas. $-1 - 4 = -5$ . Entonces $u - v = (4, -5)$ .
Observamos la diferencia. La suma y la resta dan vectores muy distintos: el orden y el signo no son un detalle.
Respuesta: $u + v = (2, 3)$ y $u - v = (4, -5)$

Ejemplo 2

Con $u = (2, 5)$ y $v = (-3, 1)$ , calcular $2u - 3v$ .

Multiplicamos u por $2$ . Cada componente por $2$ : $2u = (4, 10)$ .
Multiplicamos v por $3$ . $3v = (-9, 3)$ .
Restamos las primeras componentes. $4 + 9 = 13$ .
Restamos las segundas. $10 - 3 = 7$ .
Escribimos el resultado. Queda $(13, 7)$ . Conviene hacer primero los productos y recién después la resta: al revés se mezclan los signos.
Respuesta: $2u - 3v = (13, 7)$

Error típico

Sumar los módulos. $|u + v|$ casi nunca es $|u| + |v|$ : eso solo pasa cuando los dos vectores son paralelos y del mismo sentido. En cualquier otro caso la suma mide menos, porque un lado del triángulo es más corto que la suma de los otros dos.

Practicar

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Otros subtemas de Vectores, rectas y planos

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