Ecuación del plano

Un plano queda determinado por un punto y un vector perpendicular a él, llamado vector normal. Con esos dos datos sale la ecuación.

La idea es que cualquier vector que vaya del punto conocido a otro punto del plano tiene que ser perpendicular al normal. Escribir esa condición con el producto escalar da la ecuación.

Al desarrollarla queda una ecuación lineal en las tres variables. Lo más útil de esa forma es que los coeficientes de las variables son exactamente las componentes del normal, así que el normal se lee directo de la ecuación.

Si en vez de un normal el enunciado da dos vectores contenidos en el plano, el normal se obtiene con el producto vectorial entre ellos.

Si da tres puntos no alineados, primero se arman dos vectores restando y después se hace el producto vectorial. Ese es el caso más común en los ejercicios.

El normal no es único: cualquier múltiplo suyo sirve, y por eso la misma ecuación se puede escribir multiplicada por cualquier constante.

a(x - x_{0}) + b(y - y_{0}) + c(z - z_{0}) = 0

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide la ecuación de un plano. Si da tres puntos, armá dos vectores y hacé el producto vectorial para el normal. Si da la ecuación, el normal se lee de los coeficientes.

Ejemplo 1

Hallar la ecuación del plano que pasa por $P_{0}(1, 2, 3)$ con normal $n = (2, -1, 4)$ .

Escribimos la fórmula con los datos. $2(x - 1) - 1(y - 2) + 4(z - 3) = 0$ .
Distribuimos. $2x - 2 - y + 2 + 4z - 12 = 0$ .
Agrupamos los términos independientes. $-2 + 2 - 12 = -12$ .
Escribimos la implícita. $2x - y + 4z = 12$ .
Verificamos con el punto. $2 \cdot 1 - 2 + 4 \cdot 3 = 2 - 2 + 12 = 12$ . Cierra, así que $P_{0}$ pertenece al plano.
Respuesta: $2x - y + 4z = 12$

Ejemplo 2

Hallar la ecuación del plano que pasa por $A(1, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ y $C(0, 0, 3)$ .

Armamos dos vectores desde el mismo punto. $AB = (-1, 2, 0)$ y $AC = (-1, 0, 3)$ .
Calculamos la normal con el producto vectorial. Primera: $2 \cdot 3 - 0 \cdot 0 = 6$ . Segunda: $0 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = 3$ . Tercera: $(-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-1) = 2$ .
Escribimos la normal. $n = (6, 3, 2)$ .
Reemplazamos con el punto A. $6x + 3y + 2z = d$ , y con $A(1, 0, 0)$ queda $d = 6$ .
Verificamos con los otros dos puntos. Con $B$ : $3 \cdot 2 = 6$ . Con $C$ : $2 \cdot 3 = 6$ . Los tres puntos cumplen la ecuación.
Respuesta: $6x + 3y + 2z = 6$

Error típico

Usar como coeficientes un vector paralelo al plano en lugar de la normal. En la recta del plano el error mandaba el resultado $a 90$ grados; acá pasa lo mismo. Los coeficientes de ax $+$ by $+$ cz $= d$ son siempre perpendiculares al plano.

Practicar

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Otros subtemas de Vectores, rectas y planos

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