Método

Ejercicios: Ecuación del plano

a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x - x_{0}) + b(y - y_{0}) + c(z - z_{0}) = 0

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá la ecuación del plano que pasa por P=(−5;−8;−7)P = (-5; -8; -7) con vector normal n=(−4;−7;6)n = (-4; -7; 6).

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1. Planteamos la idea. Cualquier vector que vaya del punto conocido a otro punto del plano tiene que ser perpendicular al normal. Escribir eso con el producto escalar da la ecuación.

2. Escribimos la forma punto-normal. −4(x+5)−7(y+8)+6(z+7)=0-4(x + 5) - 7(y + 8) + 6(z + 7) = 0

3. Desarrollamos. −4x−7y+6z=34-4x - 7y + 6z = 34

4. Verificamos. Reemplazando el punto: (−4)⋅(−5)+(−7)⋅(−8)+6⋅(−7)=34(-4) \cdot (-5) + (-7) \cdot (-8) + 6 \cdot (-7) = 34, así que el punto pertenece.

5. Observamos. Los coeficientes de la ecuación son las componentes del normal. Por eso el normal se lee directo de la ecuación.

Respuesta: −4x−7y+6z=34-4x - 7y + 6z = 34

2. Hallá la ecuación del plano que pasa por A=(6;−9;9)A = (6; -9; 9), B=(8;−5;−1)B = (8; -5; -1) y C=(−6;−9;8)C = (-6; -9; 8).

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1. Vemos qué falta. Para la ecuación hacen falta un punto y un normal. Puntos tenemos tres; el normal hay que construirlo.

2. Armamos dos vectores del plano. AB⃗=(2;4;−10)\vec{AB} = (2; 4; -10) y AC⃗=(−12;0;−1)\vec{AC} = (-12; 0; -1)

3. Hallamos el normal con el producto vectorial. n=AB⃗×AC⃗=(−4;122;48)n = \vec{AB} \times \vec{AC} = (-4; 122; 48), que es perpendicular a los dos y por lo tanto al plano.

4. Escribimos la ecuación con el punto AA. −4x+122y+48z=−690-4x + 122y + 48z = -690

5. Verificamos con los otros dos puntos. Reemplazando BB y CC también se obtiene −690-690, así que los tres están en el plano.

Respuesta: −4x+122y+48z=−690-4x + 122y + 48z = -690

3. Hallá la ecuación del plano que pasa por P=(9;6;3)P = (9; 6; 3) y contiene a los vectores u=(1;−8;−1)u = (1; -8; -1) y v=(−8;−4;2)v = (-8; -4; 2).

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1. Identificamos los datos. Los dos vectores están contenidos en el plano, no son normales. El normal hay que sacarlo de ellos.

2. Calculamos el normal. n=u×v=(−20;6;−68)n = u \times v = (-20; 6; -68). Es perpendicular a los dos, así que es perpendicular al plano que generan.

3. Planteamos la ecuación. −20x+6y−68z=c-20x + 6y - 68z = c

4. Hallamos el término independiente con el punto. c=(−20)⋅9+6⋅6+(−68)⋅3=−348c = (-20) \cdot 9 + 6 \cdot 6 + (-68) \cdot 3 = -348

5. Controlamos. Usar uu o vv como coeficientes sería el error grave: son paralelos al plano, no perpendiculares.

Respuesta: −20x+6y−68z=−348-20x + 6y - 68z = -348

4. De la ecuación 9x−9y+7z=−69x - 9y + 7z = -6, extraé el vector normal y un punto del plano.

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1. Leemos el normal. En la ecuación general los coeficientes de las variables son exactamente las componentes del vector normal.

2. Escribimos el normal. n=(9;−9;7)n = (9; -9; 7)

3. Buscamos un punto. Para hallar un punto alcanza con darle valores a dos variables y despejar la tercera. Lo más rápido es poner dos en cero.

4. Despejamos. Un punto del plano es (−23;0;0)(- \dfrac{2}{3}; 0; 0).

5. Verificamos. Reemplazando en la ecuación se obtiene −6-6, así que el punto pertenece.

6. Observamos. Cualquier múltiplo del normal también es normal, y la misma ecuación multiplicada por una constante describe el mismo plano.

Respuesta: n=(9;−9;7)n = (9; -9; 7) y por ejemplo el punto (−23;0;0)(- \dfrac{2}{3}; 0; 0)

5. Hallá la ecuación del plano que pasa por P=(2;7;7)P = (2; 7; 7) con vector normal n=(−3;5;−5)n = (-3; 5; -5).

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1. Planteamos la idea. Cualquier vector que vaya del punto conocido a otro punto del plano tiene que ser perpendicular al normal. Escribir eso con el producto escalar da la ecuación.

2. Escribimos la forma punto-normal. −3(x−2)+5(y−7)−5(z−7)=0-3(x - 2) + 5(y - 7) - 5(z - 7) = 0

3. Desarrollamos. −3x+5y−5z=−6-3x + 5y - 5z = -6

4. Verificamos. Reemplazando el punto: (−3)⋅2+5⋅7+(−5)⋅7=−6(-3) \cdot 2 + 5 \cdot 7 + (-5) \cdot 7 = -6, así que el punto pertenece.

5. Observamos. Los coeficientes de la ecuación son las componentes del normal. Por eso el normal se lee directo de la ecuación.

Respuesta: −3x+5y−5z=−6-3x + 5y - 5z = -6

6. Hallá la ecuación del plano que pasa por A=(−5;8;1)A = (-5; 8; 1), B=(−8;−9;4)B = (-8; -9; 4) y C=(−8;−3;4)C = (-8; -3; 4).

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1. Vemos qué falta. Para la ecuación hacen falta un punto y un normal. Puntos tenemos tres; el normal hay que construirlo.

2. Armamos dos vectores del plano. AB⃗=(−3;−17;3)\vec{AB} = (-3; -17; 3) y AC⃗=(−3;−11;3)\vec{AC} = (-3; -11; 3)

3. Hallamos el normal con el producto vectorial. n=AB⃗×AC⃗=(−18;0;−18)n = \vec{AB} \times \vec{AC} = (-18; 0; -18), que es perpendicular a los dos y por lo tanto al plano.

4. Escribimos la ecuación con el punto AA. −18x−18z=72-18x - 18z = 72

5. Verificamos con los otros dos puntos. Reemplazando BB y CC también se obtiene 7272, así que los tres están en el plano.

Respuesta: −18x−18z=72-18x - 18z = 72

7. Hallá la ecuación del plano que pasa por P=(6;6;−9)P = (6; 6; -9) y contiene a los vectores u=(−5;3;−9)u = (-5; 3; -9) y v=(5;3;−3)v = (5; 3; -3).

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1. Identificamos los datos. Los dos vectores están contenidos en el plano, no son normales. El normal hay que sacarlo de ellos.

2. Calculamos el normal. n=u×v=(18;−60;−30)n = u \times v = (18; -60; -30). Es perpendicular a los dos, así que es perpendicular al plano que generan.

3. Planteamos la ecuación. 18x−60y−30z=c18x - 60y - 30z = c

4. Hallamos el término independiente con el punto. c=18⋅6+(−60)⋅6+(−30)⋅(−9)=18c = 18 \cdot 6 + (-60) \cdot 6 + (-30) \cdot (-9) = 18

5. Controlamos. Usar uu o vv como coeficientes sería el error grave: son paralelos al plano, no perpendiculares.

Respuesta: 18x−60y−30z=1818x - 60y - 30z = 18

8. De la ecuación 2x+9y−8z=−12x + 9y - 8z = -1, extraé el vector normal y un punto del plano.

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1. Leemos el normal. En la ecuación general los coeficientes de las variables son exactamente las componentes del vector normal.

2. Escribimos el normal. n=(2;9;−8)n = (2; 9; -8)

3. Buscamos un punto. Para hallar un punto alcanza con darle valores a dos variables y despejar la tercera. Lo más rápido es poner dos en cero.

4. Despejamos. Un punto del plano es (−12;0;0)(- \dfrac{1}{2}; 0; 0).

5. Verificamos. Reemplazando en la ecuación se obtiene −1-1, así que el punto pertenece.

6. Observamos. Cualquier múltiplo del normal también es normal, y la misma ecuación multiplicada por una constante describe el mismo plano.

Respuesta: n=(2;9;−8)n = (2; 9; -8) y por ejemplo el punto (−12;0;0)(- \dfrac{1}{2}; 0; 0)

9. Hallá la ecuación del plano que pasa por P=(6;−2;−8)P = (6; -2; -8) con vector normal n=(−1;3;−8)n = (-1; 3; -8).

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1. Planteamos la idea. Cualquier vector que vaya del punto conocido a otro punto del plano tiene que ser perpendicular al normal. Escribir eso con el producto escalar da la ecuación.

2. Escribimos la forma punto-normal. −1(x−6)+3(y+2)−8(z+8)=0-1(x - 6) + 3(y + 2) - 8(z + 8) = 0

3. Desarrollamos. −x+3y−8z=52-x + 3y - 8z = 52

4. Verificamos. Reemplazando el punto: (−1)⋅6+3⋅(−2)+(−8)⋅(−8)=52(-1) \cdot 6 + 3 \cdot (-2) + (-8) \cdot (-8) = 52, así que el punto pertenece.

5. Observamos. Los coeficientes de la ecuación son las componentes del normal. Por eso el normal se lee directo de la ecuación.

Respuesta: −x+3y−8z=52-x + 3y - 8z = 52

10. Hallá la ecuación del plano que pasa por A=(−9;1;−3)A = (-9; 1; -3), B=(8;−7;4)B = (8; -7; 4) y C=(8;−3;3)C = (8; -3; 3).

Ver solución

1. Vemos qué falta. Para la ecuación hacen falta un punto y un normal. Puntos tenemos tres; el normal hay que construirlo.

2. Armamos dos vectores del plano. AB⃗=(17;−8;7)\vec{AB} = (17; -8; 7) y AC⃗=(17;−4;6)\vec{AC} = (17; -4; 6)

3. Hallamos el normal con el producto vectorial. n=AB⃗×AC⃗=(−20;17;68)n = \vec{AB} \times \vec{AC} = (-20; 17; 68), que es perpendicular a los dos y por lo tanto al plano.

4. Escribimos la ecuación con el punto AA. −20x+17y+68z=−7-20x + 17y + 68z = -7

5. Verificamos con los otros dos puntos. Reemplazando BB y CC también se obtiene −7-7, así que los tres están en el plano.

Respuesta: −20x+17y+68z=−7-20x + 17y + 68z = -7

11. Hallá la ecuación del plano que pasa por P=(5;5;4)P = (5; 5; 4) y contiene a los vectores u=(−7;2;6)u = (-7; 2; 6) y v=(−5;−5;2)v = (-5; -5; 2).

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1. Identificamos los datos. Los dos vectores están contenidos en el plano, no son normales. El normal hay que sacarlo de ellos.

2. Calculamos el normal. n=u×v=(34;−16;45)n = u \times v = (34; -16; 45). Es perpendicular a los dos, así que es perpendicular al plano que generan.

3. Planteamos la ecuación. 34x−16y+45z=c34x - 16y + 45z = c

4. Hallamos el término independiente con el punto. c=34⋅5+(−16)⋅5+45⋅4=270c = 34 \cdot 5 + (-16) \cdot 5 + 45 \cdot 4 = 270

5. Controlamos. Usar uu o vv como coeficientes sería el error grave: son paralelos al plano, no perpendiculares.

Respuesta: 34x−16y+45z=27034x - 16y + 45z = 270

12. De la ecuación 7x+5y−5z=−87x + 5y - 5z = -8, extraé el vector normal y un punto del plano.

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1. Leemos el normal. En la ecuación general los coeficientes de las variables son exactamente las componentes del vector normal.

2. Escribimos el normal. n=(7;5;−5)n = (7; 5; -5)

3. Buscamos un punto. Para hallar un punto alcanza con darle valores a dos variables y despejar la tercera. Lo más rápido es poner dos en cero.

4. Despejamos. Un punto del plano es (−87;0;0)(- \dfrac{8}{7}; 0; 0).

5. Verificamos. Reemplazando en la ecuación se obtiene −8-8, así que el punto pertenece.

6. Observamos. Cualquier múltiplo del normal también es normal, y la misma ecuación multiplicada por una constante describe el mismo plano.

Respuesta: n=(7;5;−5)n = (7; 5; -5) y por ejemplo el punto (−87;0;0)(- \dfrac{8}{7}; 0; 0)

Integradores de Vectores, rectas y planos: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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