Método

Ejercicios: Posiciones relativas con planos

π1∥π2\pi _{1} \parallel \pi _{2} si n1n_{1} es múltiplo de n2n_{2}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Determiná la posición relativa de π1:−4x+6y+7z=−3\pi_1: -4x + 6y + 7z = -3 y π2:8x−12y−14z=7\pi_2: 8x - 12y - 14z = 7.

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1. Comparamos los normales. Con dos planos siempre se arranca comparando los vectores normales, que se leen de los coeficientes.

2. Vemos si son paralelos. n2=(8;−12;−14)=−2 (−4;6;7)=−2 n1n_2 = (8; -12; -14) = -2\,(-4; 6; 7) = -2\,n_1, así que los normales son paralelos. Los planos son paralelos o coincidentes.

3. Distinguimos con el término independiente. Si fueran el mismo plano, al multiplicar la primera ecuación por −2-2 tendría que quedar la segunda entera. El término independiente daría 66, pero la segunda tiene 77.

4. Concluimos. Los planos son paralelos y distintos: no se cortan en ningún punto.

5. Observamos. Dos planos nunca se cortan en un solo punto. Las únicas opciones son coincidentes, paralelos o cortarse en una recta.

Respuesta: los planos son paralelos y distintos

2. Determiná la posición relativa de π1:−6x+4y−7z=3\pi_1: -6x + 4y - 7z = 3 y π2:4x+y−6z=−6\pi_2: 4x + y - 6z = -6, e indicá la dirección de la recta de intersección si se cortan.

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1. Leemos los normales. n1=(−6;4;−7)n_1 = (-6; 4; -7) y n2=(4;1;−6)n_2 = (4; 1; -6)

2. Comparamos. No son múltiplos uno del otro, así que los planos no son paralelos ni coincidentes: se cortan en una recta.

3. Hallamos la dirección de esa recta. La recta de intersección está en los dos planos, así que es perpendicular a los dos normales. Esa dirección la da el producto vectorial.

4. Calculamos. d=n1×n2=(−17;−64;−22)d = n_1 \times n_2 = (-17; -64; -22)

5. Observamos. Para tener la recta completa faltaría un punto, que se obtiene resolviendo el sistema de las dos ecuaciones dándole un valor a una variable.

Respuesta: los planos se cortan en una recta de dirección (−17;−64;−22)(-17; -64; -22)

3. Determiná la posición relativa de la recta (x;y;z)=(4;2;4)+t (−6;−8;7)(x;y;z) = (4; 2; 4) + t\,(-6; -8; 7) y el plano 3x+y−9z=43x + y - 9z = 4.

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1. Identificamos qué comparar. Con recta y plano lo que se compara es el director de la recta con el normal del plano, usando el producto escalar.

2. Escribimos los dos vectores. Director d=(−6;−8;7)d = (-6; -8; 7), normal n=(3;1;−9)n = (3; 1; -9)

3. Calculamos el producto escalar. d⋅n=−89d \cdot n = -89, distinto de cero.

4. Concluimos. Como el producto escalar no da cero, el director no es perpendicular al normal, así que la recta atraviesa el plano: se cortan en un punto.

5. Observamos. El punto de corte sale reemplazando las paramétricas en la ecuación del plano y despejando el parámetro.

Respuesta: la recta corta al plano en un punto

4. Decidí si la recta (x;y;z)=(−2;2;5)+t (1;9;0)(x;y;z) = (-2; 2; 5) + t\,(1; 9; 0) está contenida en el plano −9x+y+8z=60-9x + y + 8z = 60 o es paralela sin tocarlo.

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1. Primer control: el director contra el normal. d⋅n=0d \cdot n = 0. Da cero, así que la recta es paralela al plano o está contenida en él.

2. Vemos por qué no alcanza. Esa condición la cumplen los dos casos. Para distinguirlos hay que probar con un punto.

3. Probamos el punto base de la recta. Reemplazamos (−2;2;5)(-2; 2; 5) en la ecuación: (−9)⋅(−2)+1⋅2+8⋅5=60(-9) \cdot (-2) + 1 \cdot 2 + 8 \cdot 5 = 60.

4. Comparamos con el término independiente. El resultado coincide con 6060, así que el punto pertenece al plano.

5. Concluimos. La recta es paralela al plano y además tiene un punto en él, así que está contenida en el plano.

Respuesta: la recta está contenida en el plano

5. Determiná la posición relativa de π1:2x−7y−5z=−7\pi_1: 2x - 7y - 5z = -7 y π2:−4x+14y+10z=16\pi_2: -4x + 14y + 10z = 16.

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1. Comparamos los normales. Con dos planos siempre se arranca comparando los vectores normales, que se leen de los coeficientes.

2. Vemos si son paralelos. n2=(−4;14;10)=−2 (2;−7;−5)=−2 n1n_2 = (-4; 14; 10) = -2\,(2; -7; -5) = -2\,n_1, así que los normales son paralelos. Los planos son paralelos o coincidentes.

3. Distinguimos con el término independiente. Si fueran el mismo plano, al multiplicar la primera ecuación por −2-2 tendría que quedar la segunda entera. El término independiente daría 1414, pero la segunda tiene 1616.

4. Concluimos. Los planos son paralelos y distintos: no se cortan en ningún punto.

5. Observamos. Dos planos nunca se cortan en un solo punto. Las únicas opciones son coincidentes, paralelos o cortarse en una recta.

Respuesta: los planos son paralelos y distintos

6. Determiná la posición relativa de π1:−9x−7y+z=−8\pi_1: -9x - 7y + z = -8 y π2:6x+2y+2z=−1\pi_2: 6x + 2y + 2z = -1, e indicá la dirección de la recta de intersección si se cortan.

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1. Leemos los normales. n1=(−9;−7;1)n_1 = (-9; -7; 1) y n2=(6;2;2)n_2 = (6; 2; 2)

2. Comparamos. No son múltiplos uno del otro, así que los planos no son paralelos ni coincidentes: se cortan en una recta.

3. Hallamos la dirección de esa recta. La recta de intersección está en los dos planos, así que es perpendicular a los dos normales. Esa dirección la da el producto vectorial.

4. Calculamos. d=n1×n2=(−16;24;24)d = n_1 \times n_2 = (-16; 24; 24)

5. Observamos. Para tener la recta completa faltaría un punto, que se obtiene resolviendo el sistema de las dos ecuaciones dándole un valor a una variable.

Respuesta: los planos se cortan en una recta de dirección (−16;24;24)(-16; 24; 24)

7. Determiná la posición relativa de la recta (x;y;z)=(−3;−7;4)+t (−9;−3;−1)(x;y;z) = (-3; -7; 4) + t\,(-9; -3; -1) y el plano −3x+y+z=−7-3x + y + z = -7.

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1. Identificamos qué comparar. Con recta y plano lo que se compara es el director de la recta con el normal del plano, usando el producto escalar.

2. Escribimos los dos vectores. Director d=(−9;−3;−1)d = (-9; -3; -1), normal n=(−3;1;1)n = (-3; 1; 1)

3. Calculamos el producto escalar. d⋅n=23d \cdot n = 23, distinto de cero.

4. Concluimos. Como el producto escalar no da cero, el director no es perpendicular al normal, así que la recta atraviesa el plano: se cortan en un punto.

5. Observamos. El punto de corte sale reemplazando las paramétricas en la ecuación del plano y despejando el parámetro.

Respuesta: la recta corta al plano en un punto

8. Decidí si la recta (x;y;z)=(5;8;−9)+t (8;−7;0)(x;y;z) = (5; 8; -9) + t\,(8; -7; 0) está contenida en el plano 7x+8y+4z=637x + 8y + 4z = 63 o es paralela sin tocarlo.

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1. Primer control: el director contra el normal. d⋅n=0d \cdot n = 0. Da cero, así que la recta es paralela al plano o está contenida en él.

2. Vemos por qué no alcanza. Esa condición la cumplen los dos casos. Para distinguirlos hay que probar con un punto.

3. Probamos el punto base de la recta. Reemplazamos (5;8;−9)(5; 8; -9) en la ecuación: 7⋅5+8⋅8+4⋅(−9)=637 \cdot 5 + 8 \cdot 8 + 4 \cdot (-9) = 63.

4. Comparamos con el término independiente. El resultado coincide con 6363, así que el punto pertenece al plano.

5. Concluimos. La recta es paralela al plano y además tiene un punto en él, así que está contenida en el plano.

Respuesta: la recta está contenida en el plano

9. Determiná la posición relativa de π1:−4x+7y+2z=1\pi_1: -4x + 7y + 2z = 1 y π2:−12x+21y+6z=4\pi_2: -12x + 21y + 6z = 4.

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1. Comparamos los normales. Con dos planos siempre se arranca comparando los vectores normales, que se leen de los coeficientes.

2. Vemos si son paralelos. n2=(−12;21;6)=3 (−4;7;2)=3 n1n_2 = (-12; 21; 6) = 3\,(-4; 7; 2) = 3\,n_1, así que los normales son paralelos. Los planos son paralelos o coincidentes.

3. Distinguimos con el término independiente. Si fueran el mismo plano, al multiplicar la primera ecuación por 33 tendría que quedar la segunda entera. El término independiente daría 33, pero la segunda tiene 44.

4. Concluimos. Los planos son paralelos y distintos: no se cortan en ningún punto.

5. Observamos. Dos planos nunca se cortan en un solo punto. Las únicas opciones son coincidentes, paralelos o cortarse en una recta.

Respuesta: los planos son paralelos y distintos

10. Determiná la posición relativa de π1:−8x+6y+z=4\pi_1: -8x + 6y + z = 4 y π2:9x−5y−8z=−5\pi_2: 9x - 5y - 8z = -5, e indicá la dirección de la recta de intersección si se cortan.

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1. Leemos los normales. n1=(−8;6;1)n_1 = (-8; 6; 1) y n2=(9;−5;−8)n_2 = (9; -5; -8)

2. Comparamos. No son múltiplos uno del otro, así que los planos no son paralelos ni coincidentes: se cortan en una recta.

3. Hallamos la dirección de esa recta. La recta de intersección está en los dos planos, así que es perpendicular a los dos normales. Esa dirección la da el producto vectorial.

4. Calculamos. d=n1×n2=(−43;−55;−14)d = n_1 \times n_2 = (-43; -55; -14)

5. Observamos. Para tener la recta completa faltaría un punto, que se obtiene resolviendo el sistema de las dos ecuaciones dándole un valor a una variable.

Respuesta: los planos se cortan en una recta de dirección (−43;−55;−14)(-43; -55; -14)

11. Determiná la posición relativa de la recta (x;y;z)=(2;−3;−6)+t (−4;−2;8)(x;y;z) = (2; -3; -6) + t\,(-4; -2; 8) y el plano −4x+2y+2z=9-4x + 2y + 2z = 9.

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1. Identificamos qué comparar. Con recta y plano lo que se compara es el director de la recta con el normal del plano, usando el producto escalar.

2. Escribimos los dos vectores. Director d=(−4;−2;8)d = (-4; -2; 8), normal n=(−4;2;2)n = (-4; 2; 2)

3. Calculamos el producto escalar. d⋅n=28d \cdot n = 28, distinto de cero.

4. Concluimos. Como el producto escalar no da cero, el director no es perpendicular al normal, así que la recta atraviesa el plano: se cortan en un punto.

5. Observamos. El punto de corte sale reemplazando las paramétricas en la ecuación del plano y despejando el parámetro.

Respuesta: la recta corta al plano en un punto

12. Decidí si la recta (x;y;z)=(9;3;9)+t (1;8;0)(x;y;z) = (9; 3; 9) + t\,(1; 8; 0) está contenida en el plano −8x+y−8z=−141-8x + y - 8z = -141 o es paralela sin tocarlo.

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1. Primer control: el director contra el normal. d⋅n=0d \cdot n = 0. Da cero, así que la recta es paralela al plano o está contenida en él.

2. Vemos por qué no alcanza. Esa condición la cumplen los dos casos. Para distinguirlos hay que probar con un punto.

3. Probamos el punto base de la recta. Reemplazamos (9;3;9)(9; 3; 9) en la ecuación: (−8)⋅9+1⋅3+(−8)⋅9=−141(-8) \cdot 9 + 1 \cdot 3 + (-8) \cdot 9 = -141.

4. Comparamos con el término independiente. El resultado coincide con −141-141, así que el punto pertenece al plano.

5. Concluimos. La recta es paralela al plano y además tiene un punto en él, así que está contenida en el plano.

Respuesta: la recta está contenida en el plano

Integradores de Vectores, rectas y planos: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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