Vectores en el espacio

Todo lo del plano se extiende al espacio agregando una tercera componente. Las operaciones son las mismas y el módulo suma un cuadrado más adentro de la raíz.

Lo que cambia es la intuición geométrica, porque en tres dimensiones hay más posibilidades. Dos rectas del plano o se cortan o son paralelas; en el espacio pueden además cruzarse sin tocarse, que se llama alabeadas.

El sistema de coordenadas espacial tiene tres ejes perpendiculares entre sí. Por convención se usa la orientación de la mano derecha, y eso importa para el producto vectorial, que se ve más adelante.

Para dibujar en el espacio sobre una hoja plana se usan proyecciones, y ahí conviene marcar bien cuál eje sale hacia adelante. Un dibujo mal orientado lleva a errores de signo.

También aparece el producto vectorial, que solo existe en tres dimensiones y no tiene equivalente en el plano.

|v| = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio trabaja con tres coordenadas. Las cuentas son las mismas del plano con un término más. Cuidado con las posiciones relativas: en el espacio dos rectas pueden no cortarse sin ser paralelas.

Ejemplo 1

Calcular el módulo de $v = (2, 3, 6)$ .

Escribimos la fórmula con tres términos. $|v| = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}}$ .
Elevamos cada componente al cuadrado. $2^{2} = 4$ , $3^{2} = 9$ y $6^{2} = 36$ .
Sumamos los tres. $4 + 9 + 36 = 49$ .
Extraemos la raíz. $\sqrt{49} = 7$ .
Observamos. La terna $2-3-6-7$ es la versión en el espacio de las ternas pitagóricas y aparece seguido en los ejercicios.
Respuesta: $|v| = 7$

Ejemplo 2

Hallar los cosenos directores de $v = (1, 2, 2)$ y verificar el resultado.

Calculamos el módulo. $\sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ .
Dividimos cada componente por el módulo. $\cos \alpha = 1/3$ , $\cos \beta = 2/3$ y $\cos \gamma = 2/3$ .
Verificamos con la relación fundamental. $(1/3)^{2} + (2/3)^{2} + (2/3)^{2} = 1/9 + 4/9 + 4/9 = 9/9 = 1$ . Cierra.
Estimamos los ángulos. $\alpha \approx 70{,}5^{\circ}$ y $\beta = \gamma \approx 48{,}2^{\circ}$ . Que dos sean iguales tiene sentido: las componentes en $y$ y en $z$ son iguales.
Notamos de dónde salieron. Los tres cosenos juntos, $(1/3, 2/3, 2/3)$ , son el versor de $v$ .
Respuesta: $\cos \alpha = 1/3$ , $\cos \beta = \cos \gamma = 2/3$

Error típico

Creer que los tres ángulos directores suman $180^{\circ}$ . No suman nada fijo: lo que vale $1$ es la suma de los cuadrados de sus cosenos. Es la relación que conviene usar para verificar cualquier resultado.

Practicar

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Otros subtemas de Vectores, rectas y planos

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .