Vectores paralelos y puntos alineados

Dos vectores son paralelos cuando uno es múltiplo del otro. Eso significa que apuntan en la misma dirección, con el mismo sentido o el contrario según el signo del múltiplo.

Para verificarlo se comparan las componentes: si el cociente entre las componentes correspondientes es el mismo para todas, los vectores son paralelos. Ese cociente es el múltiplo.

Hay que tener cuidado cuando alguna componente vale cero. Ahí no se puede dividir, y la condición es que la componente correspondiente del otro también sea cero.

Tres puntos están alineados cuando los vectores que forman entre sí son paralelos. Se arma un vector con dos de los puntos y otro con otro par, y se verifica el paralelismo.

El vector nulo es un caso aparte: se considera paralelo a todos, porque es múltiplo de cualquiera con coeficiente cero. Eso a veces genera confusión en ejercicios teóricos.

u \parallel v

si existe k tal que

u = k v

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide verificar si tres puntos están alineados, o hallar un valor que haga paralelos a dos vectores. Compará los cocientes componente a componente, con cuidado si alguna es cero.

Ejemplo 1

Decidir si $u = (6, -9)$ y $v = (-4, 6)$ son paralelos.

Planteamos la condición. Buscamos un $k$ que cumpla $u = k v$ .
Usamos la primera componente para despejar k. $6 = k \cdot (-4)$ , así que $k = -3/2$ .
Controlamos con la segunda componente. Con ese mismo $k$ : $(-3/2) \cdot 6 = -9$ , que es justo la segunda componente de $u$ .
Concluimos. El mismo $k$ sirve para las dos componentes, así que son paralelos.
Leemos el signo. Como $k$ es negativo, apuntan para lados opuestos.
Respuesta: sí, con $k = -3/2$

Ejemplo 2

Decidir si $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ y $C(7, 11)$ están alineados.

Armamos dos vectores desde el mismo punto. Conviene usar $A$ como punto de partida para los dos.
Calculamos AB. $B - A = (3 - 1, 5 - 2) = (2, 3)$ .
Calculamos AC. $C - A = (7 - 1, 11 - 2) = (6, 9)$ .
Buscamos el escalar. $6 = k \cdot 2$ da $k = 3$ , y con ese $k$ la segunda componente da $3 \cdot 3 = 9$ . Coincide.
Concluimos. $AC = 3 AB$ , así que los vectores son paralelos y comparten el punto $A$ : los tres puntos están sobre la misma recta.
Respuesta: sí, están alineados

Error típico

Dividir componente a componente sin mirar los ceros. Si una componente es cero, ese cociente no se puede calcular. Con $u = (0, 3) y v = (0, 7)$ los vectores son paralelos aunque la división de las primeras componentes no exista.

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Otros subtemas de Vectores, rectas y planos

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .