Las cónicas

Las cónicas son las curvas que aparecen al cortar un cono con un plano. Según la inclinación del corte sale una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola. Todas se describen con ecuaciones de segundo grado en dos variables.

La circunferencia es el conjunto de puntos a la misma distancia de un centro, y su ecuación sale directo de la fórmula de distancia.

La elipse es una circunferencia estirada: tiene dos semiejes distintos, y en su ecuación cada variable aparece dividida por el cuadrado de su semieje. Si los dos semiejes son iguales, vuelve a ser una circunferencia.

La hipérbola tiene la misma forma que la elipse pero con una resta en lugar de una suma, y por eso son dos ramas separadas en vez de una curva cerrada.

La parábola es la única con una variable al cuadrado y la otra no.

Para reconocer cuál es, se mira la ecuación: si las dos variables están al cuadrado y suman, es elipse o circunferencia; si restan, hipérbola; si solo una está al cuadrado, parábola.

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \ \text{(elipse)}, \quad \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \ \text{(hipérbola)}

Cuándo se usa

Cuando la ecuación es de segundo grado en dos variables. Mirá el signo entre los términos cuadráticos: suma es elipse, resta es hipérbola, y si falta un cuadrado es parábola. Si hay términos lineales, completá cuadrados.

Ejemplo 1

Identificar la cónica $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ y dar sus semiejes.

Miramos el signo entre los términos. Es una suma, así que es elipse o circunferencia.
Comparamos los denominadores. Son distintos, así que es una elipse.
Sacamos las raíces. Los semiejes son $3$ en horizontal y $2$ en vertical.
Identificamos el eje mayor. Es el horizontal, porque $3 > 2$ .
Respuesta: elipse de semiejes $3$ y $2$

Ejemplo 2

Llevar $x^{2} + y^{2} - 6x + 4y + 9 = 0$ a la forma canónica.

Agrupamos por variable. Queda $(x^{2} - 6x) + (y^{2} + 4y) = -9$ .
Completamos cuadrados en $x$ . Falta $9$ para armar $(x-3)^{2}$ .
Completamos cuadrados en $y$ . Falta $4$ para armar $(y+2)^{2}$ .
Sumamos lo mismo de los dos lados. A la derecha queda $-9 + 9 + 4 = 4$ .
Leemos el resultado. Es una circunferencia de centro $(3, -2)$ y radio $2$ .
Respuesta: $(x-3)^{2} + (y+2)^{2} = 4$

Error típico

Confundir los denominadores con los semiejes. En la ecuación canónica están al cuadrado, así que el semieje es su raíz.

Practicar

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