Ejercicios: Las cónicas

1. Identificá la cónica $x^2 + y^2 = 4$ y describí sus elementos.

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1. Miramos los términos cuadráticos. Los dos aparecen elevados al cuadrado, con el mismo coeficiente y el mismo signo. Eso es una circunferencia.

2. Identificamos el centro. No hay términos lineales, así que el centro está en el origen.

3. Leemos el radio. El término independiente es el radio al cuadrado: $r = \sqrt{4} = 2$ .

4. Controlamos. La clasificación depende de los signos y de si las dos variables aparecen al cuadrado. Es lo primero que hay que mirar.

Respuesta: es una circunferencia de centro $(0; 0)$ y radio $2$

2. Hallá los focos y la excentricidad de la elipse $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ .

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1. Leemos los semiejes. $a = 5$ y $b = 2$ . Como $a > b$ , el eje mayor es el horizontal y los focos están sobre el eje $x$ .

2. Aplicamos la relación entre semiejes y distancia focal. $c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 4 = 21$

3. Calculamos $c$ . $c = \sqrt{21} \approx 4{,}5826$

4. Escribimos los focos. $F_1 = (-\sqrt{21}; 0)$ y $F_2 = (\sqrt{21}; 0)$

5. Calculamos la excentricidad. $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{21}}{5} \approx 0{,}9165$ . Está entre $0$ y $1$ , como corresponde a una elipse.

Respuesta: focos en $(\pm\sqrt{21}; 0)$ y excentricidad $e \approx 0{,}9165$

3. Identificá la cónica $x^2 + y^2 + 8x - 4y + 4 = 0$ completando cuadrados.

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1. Reconocemos la forma. Los dos términos cuadráticos tienen el mismo coeficiente y el mismo signo, así que va a ser una circunferencia. Los términos lineales indican que el centro no está en el origen.

2. Agrupamos por variable. $(x^2 + 8x) + (y^2 - 4y) = -4$

3. Completamos cuadrados en $x$ . $x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16$

4. Completamos cuadrados en $y$ . $y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4$

5. Reordenamos. $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 16$

6. Leemos los elementos. Centro $(-4; 2)$ y radio $4$ .

Respuesta: es una circunferencia de centro $(-4; 2)$ y radio $4$

4. Escribí la ecuación de la circunferencia de centro $C = (-5; 5)$ y radio $7$ , en forma canónica y desarrollada.

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1. Escribimos la forma canónica. La forma canónica dice que la distancia de cualquier punto al centro es el radio.

2. Reemplazamos los datos. $(x + 5)^2 + (y - 5)^2 = 49$

3. Desarrollamos los cuadrados. $x^2 + 10x + 25 + y^2 - 10y + 25 = 49$

4. Agrupamos. $x^2 + y^2 + 10x - 10y + 1 = 0$

5. Observamos. En la forma desarrollada el centro y el radio no se leen de un vistazo. Para recuperarlos hay que completar cuadrados.

Respuesta: $(x + 5)^2 + (y - 5)^2 = 49$

5. Identificá la cónica $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{16} = 1$ y describí sus elementos.

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1. Miramos los signos. Los dos términos cuadráticos son positivos y están sumando, pero los denominadores son distintos. Eso es una elipse.

2. Leemos los semiejes. El semieje en $x$ es $\sqrt{4} = 2$ y el semieje en $y$ es $\sqrt{16} = 4$ .

3. Identificamos el eje mayor. Como el semieje en $y$ es mayor, el eje mayor está sobre el eje vertical.

4. Controlamos. La clasificación depende de los signos y de si las dos variables aparecen al cuadrado. Es lo primero que hay que mirar.

Respuesta: es una elipse de centro $(0; 0)$ , con semiejes $2$ y $4$

6. Hallá los focos y la excentricidad de la elipse $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ .

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1. Leemos los semiejes. $a = 4$ y $b = 3$ . Como $a > b$ , el eje mayor es el horizontal y los focos están sobre el eje $x$ .

2. Aplicamos la relación entre semiejes y distancia focal. $c^2 = a^2 - b^2 = 16 - 9 = 7$

3. Calculamos $c$ . $c = \sqrt{7} \approx 2{,}6458$

4. Escribimos los focos. $F_1 = (-\sqrt{7}; 0)$ y $F_2 = (\sqrt{7}; 0)$

5. Calculamos la excentricidad. $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{7}}{4} \approx 0{,}6614$ . Está entre $0$ y $1$ , como corresponde a una elipse.

Respuesta: focos en $(\pm\sqrt{7}; 0)$ y excentricidad $e \approx 0{,}6614$

7. Identificá la cónica $x^2 + y^2 - 6x - 2y - 26 = 0$ completando cuadrados.

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1. Reconocemos la forma. Los dos términos cuadráticos tienen el mismo coeficiente y el mismo signo, así que va a ser una circunferencia. Los términos lineales indican que el centro no está en el origen.

2. Agrupamos por variable. $(x^2 - 6x) + (y^2 - 2y) = 26$

3. Completamos cuadrados en $x$ . $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$

4. Completamos cuadrados en $y$ . $y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1$

5. Reordenamos. $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 36$

6. Leemos los elementos. Centro $(3; 1)$ y radio $6$ .

Respuesta: es una circunferencia de centro $(3; 1)$ y radio $6$

8. Escribí la ecuación de la circunferencia de centro $C = (-1; -5)$ y radio $4$ , en forma canónica y desarrollada.

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1. Escribimos la forma canónica. La forma canónica dice que la distancia de cualquier punto al centro es el radio.

2. Reemplazamos los datos. $(x + 1)^2 + (y + 5)^2 = 16$

3. Desarrollamos los cuadrados. $x^2 + 2x + 1 + y^2 + 10y + 25 = 16$

4. Agrupamos. $x^2 + y^2 + 2x + 10y + 10 = 0$

5. Observamos. En la forma desarrollada el centro y el radio no se leen de un vistazo. Para recuperarlos hay que completar cuadrados.

Respuesta: $(x + 1)^2 + (y + 5)^2 = 16$

9. Identificá la cónica $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ y describí sus elementos.

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1. Miramos los signos. Los dos términos cuadráticos son positivos y están sumando, pero los denominadores son distintos. Eso es una elipse.

2. Leemos los semiejes. El semieje en $x$ es $\sqrt{16} = 4$ y el semieje en $y$ es $\sqrt{9} = 3$ .

3. Identificamos el eje mayor. Como el semieje en $x$ es mayor, el eje mayor está sobre el eje horizontal.

4. Controlamos. La clasificación depende de los signos y de si las dos variables aparecen al cuadrado. Es lo primero que hay que mirar.

Respuesta: es una elipse de centro $(0; 0)$ , con semiejes $4$ y $3$

10. Hallá los focos y la excentricidad de la elipse $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ .

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1. Leemos los semiejes. $a = 3$ y $b = 2$ . Como $a > b$ , el eje mayor es el horizontal y los focos están sobre el eje $x$ .

2. Aplicamos la relación entre semiejes y distancia focal. $c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 4 = 5$

3. Calculamos $c$ . $c = \sqrt{5} \approx 2{,}2361$

4. Escribimos los focos. $F_1 = (-\sqrt{5}; 0)$ y $F_2 = (\sqrt{5}; 0)$

5. Calculamos la excentricidad. $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{5}}{3} \approx 0{,}7454$ . Está entre $0$ y $1$ , como corresponde a una elipse.

Respuesta: focos en $(\pm\sqrt{5}; 0)$ y excentricidad $e \approx 0{,}7454$

11. Identificá la cónica $x^2 + y^2 - 8x + 2y + 8 = 0$ completando cuadrados.

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1. Reconocemos la forma. Los dos términos cuadráticos tienen el mismo coeficiente y el mismo signo, así que va a ser una circunferencia. Los términos lineales indican que el centro no está en el origen.

2. Agrupamos por variable. $(x^2 - 8x) + (y^2 + 2y) = -8$

3. Completamos cuadrados en $x$ . $x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16$

4. Completamos cuadrados en $y$ . $y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1$

5. Reordenamos. $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 9$

6. Leemos los elementos. Centro $(4; -1)$ y radio $3$ .

Respuesta: es una circunferencia de centro $(4; -1)$ y radio $3$

12. Escribí la ecuación de la circunferencia de centro $C = (-2; -5)$ y radio $6$ , en forma canónica y desarrollada.

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1. Escribimos la forma canónica. La forma canónica dice que la distancia de cualquier punto al centro es el radio.

2. Reemplazamos los datos. $(x + 2)^2 + (y + 5)^2 = 36$

3. Desarrollamos los cuadrados. $x^2 + 4x + 4 + y^2 + 10y + 25 = 36$

4. Agrupamos. $x^2 + y^2 + 4x + 10y - 7 = 0$

5. Observamos. En la forma desarrollada el centro y el radio no se leen de un vistazo. Para recuperarlos hay que completar cuadrados.

Respuesta: $(x + 2)^2 + (y + 5)^2 = 36$