Ejercicios: Superficies cuádricas

2. Identificamos el eje. El término positivo es el de $x$, así que el eje es el eje $x$.

3. Miramos las trazas. Cortando con $x = 0$ no hay solución real: la superficie no llega hasta ahí. Recién aparece cuando $|x| \geq 3$, y por eso son dos piezas separadas.

4. Controlamos. El método es siempre el mismo: contar cuántos términos cuadráticos hay, mirar sus signos, y ver si el término independiente es cero o no.

Respuesta: es un hiperboloide de dos hojas, con eje en $x$

2. Cortamos con $z = 0$. Queda $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{4} = 1$: una elipse de semiejes $6$ y $2$.

3. Cortamos con $y = 0$. Queda $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{z^2}{36} = 1$: una elipse de semiejes $6$ y $6$.

4. Cortamos con $x = 0$. Queda $\dfrac{y^2}{4} + \dfrac{z^2}{36} = 1$: una elipse de semiejes $2$ y $6$.

5. Concluimos. Las tres trazas son elipses, que es lo característico del elipsoide.

Respuesta: las tres trazas son elipses, de semiejes $6$ y $2$, $6$ y $6$, y $2$ y $6$

2. Miramos los signos de los cuadráticos. Los dos son positivos, así que es un paraboloide elíptico y abre hacia arriba.

3. Cortamos con planos horizontales. Poniendo $z = k$ con $k > 0$ queda $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{36} = k$, que es una elipse.

4. Vemos cómo cambian esas elipses. A medida que $k$ crece las elipses se agrandan. Para $k = 0$ se reduce a un punto, el vértice, y para $k < 0$ no hay puntos.

Respuesta: es un paraboloide elíptico con vértice en el origen, que abre hacia arriba, y sus trazas horizontales son elipses

2. Comparamos con el lado derecho. El resultado es exactamente $1$, así que el punto satisface la ecuación y pertenece a la superficie.

3. Interpretamos qué punto es. Tiene dos coordenadas nulas y la tercera igual al semieje, así que está sobre el eje $x$, en el extremo de la superficie.

4. Concluimos. Es uno de los dos vértices del elipsoide en la dirección $x$. El otro es $(-2; 0; 0)$.

Respuesta: pertenece al elipsoide, y es el vértice sobre el semieje positivo de $x$

2. Identificamos el eje. El término negativo es el de $z$, así que el eje de la superficie es el eje $z$.

3. Miramos las trazas. Cortando con planos horizontales salen elipses, y con planos verticales salen hipérbolas. La superficie es una sola pieza conectada.

4. Controlamos. El método es siempre el mismo: contar cuántos términos cuadráticos hay, mirar sus signos, y ver si el término independiente es cero o no.

Respuesta: es un hiperboloide de una hoja, con eje en $z$

2. Cortamos con $z = 0$. Queda $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{25} = 1$: una elipse de semiejes $2$ y $5$.

3. Cortamos con $y = 0$. Queda $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{z^2}{9} = 1$: una elipse de semiejes $2$ y $3$.

4. Cortamos con $x = 0$. Queda $\dfrac{y^2}{25} + \dfrac{z^2}{9} = 1$: una elipse de semiejes $5$ y $3$.

5. Concluimos. Las tres trazas son elipses, que es lo característico del elipsoide.

Respuesta: las tres trazas son elipses, de semiejes $2$ y $5$, $2$ y $3$, y $5$ y $3$

2. Miramos los signos de los cuadráticos. Los dos son positivos, así que es un paraboloide elíptico y abre hacia arriba.

3. Cortamos con planos horizontales. Poniendo $z = k$ con $k > 0$ queda $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{4} = k$, que es una elipse.

4. Vemos cómo cambian esas elipses. A medida que $k$ crece las elipses se agrandan. Para $k = 0$ se reduce a un punto, el vértice, y para $k < 0$ no hay puntos.

Respuesta: es un paraboloide elíptico con vértice en el origen, que abre hacia arriba, y sus trazas horizontales son elipses

2. Comparamos con el lado derecho. El resultado es exactamente $1$, así que el punto satisface la ecuación y pertenece a la superficie.

3. Interpretamos qué punto es. Tiene dos coordenadas nulas y la tercera igual al semieje, así que está sobre el eje $x$, en el extremo de la superficie.

4. Concluimos. Es uno de los dos vértices del elipsoide en la dirección $x$. El otro es $(-4; 0; 0)$.

Respuesta: pertenece al elipsoide, y es el vértice sobre el semieje positivo de $x$

2. Identificamos el eje. El término negativo es el de $z$, así que el cono tiene eje $z$.

3. Miramos las trazas. Cortando con planos horizontales salen elipses que se achican hasta desaparecer en el origen, que es el vértice del cono.

4. Controlamos. El método es siempre el mismo: contar cuántos términos cuadráticos hay, mirar sus signos, y ver si el término independiente es cero o no.

Respuesta: es un cono con vértice en el origen y eje en $z$

2. Cortamos con $z = 0$. Queda $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$: una elipse de semiejes $3$ y $2$.

3. Cortamos con $y = 0$. Queda $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{z^2}{16} = 1$: una elipse de semiejes $3$ y $4$.

4. Cortamos con $x = 0$. Queda $\dfrac{y^2}{4} + \dfrac{z^2}{16} = 1$: una elipse de semiejes $2$ y $4$.

5. Concluimos. Las tres trazas son elipses, que es lo característico del elipsoide.

Respuesta: las tres trazas son elipses, de semiejes $3$ y $2$, $3$ y $4$, y $2$ y $4$

2. Miramos los signos de los cuadráticos. Los dos son positivos, así que es un paraboloide elíptico y abre hacia arriba.

3. Cortamos con planos horizontales. Poniendo $z = k$ con $k > 0$ queda $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = k$, que es una elipse.

4. Vemos cómo cambian esas elipses. A medida que $k$ crece las elipses se agrandan. Para $k = 0$ se reduce a un punto, el vértice, y para $k < 0$ no hay puntos.

Respuesta: es un paraboloide elíptico con vértice en el origen, que abre hacia arriba, y sus trazas horizontales son elipses

2. Comparamos con el lado derecho. El resultado es exactamente $1$, así que el punto satisface la ecuación y pertenece a la superficie.

3. Interpretamos qué punto es. Tiene dos coordenadas nulas y la tercera igual al semieje, así que está sobre el eje $x$, en el extremo de la superficie.

4. Concluimos. Es uno de los dos vértices del elipsoide en la dirección $x$. El otro es $(-4; 0; 0)$.

Respuesta: pertenece al elipsoide, y es el vértice sobre el semieje positivo de $x$