Ejercicios: Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas

2. Calculamos el radio. $r = \sqrt{(-6)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{52} \approx 7{,}2111$

3. Calculamos el ángulo. $\theta = \arctan\left(\dfrac{4}{-6}\right)$, ubicando el resultado en el cuadrante correcto: $\theta \approx 146{,}31^\circ$

4. Controlamos el cuadrante. El punto tiene $x$ negativo e $y$ positivo, así que está en el segundo cuadrante. El ángulo obtenido es consistente con eso.

5. Observamos. La calculadora devuelve el arcotangente entre $-90^\circ$ y $90^\circ$, así que hay que ajustar a mano según el cuadrante.

Respuesta: $r \approx 7{,}2111$ y $\theta \approx 146{,}31^\circ$

2. Calculamos la abscisa. $x = 9\cos(150^\circ) = - \dfrac{9 \sqrt{3}}{2} \approx -7{,}7942$

3. Calculamos la ordenada. $y = 9\operatorname{sen}(150^\circ) = \dfrac{9}{2} = 4{,}5$

4. Verificamos. El módulo del punto obtenido es $\sqrt{x^2 + y^2} = 9$, que es el radio dado.

Respuesta: $(- \dfrac{9 \sqrt{3}}{2}; \dfrac{9}{2}) \approx (-7{,}7942; 4{,}5)$

2. Calculamos el radio en el plano. $r = \sqrt{7^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{58} \approx 7{,}6158$

3. Calculamos el ángulo. $\theta \approx -23{,}2^\circ$, ubicado en el cuadrante correcto.

4. La altura no cambia. $z = -1$

5. Escribimos el resultado. El punto en cilíndricas es $(\sqrt{58}; -23{,}2^\circ; -1)$.

Respuesta: $r \approx 7{,}6158$, $\theta \approx -23{,}2^\circ$, $z = -1$

2. Calculamos la distancia al origen. $\rho = \sqrt{(-5)^{2} + (-3)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{50} \approx 7{,}0711$

3. Calculamos el ángulo desde el eje $z$. $\varphi = \arccos\left(\dfrac{4}{\sqrt{50}}\right) \approx 55{,}55^\circ$

4. Calculamos el ángulo en el plano. $\theta \approx -149{,}04^\circ$, el mismo que en cilíndricas.

5. Controlamos. El ángulo $\varphi$ siempre queda entre $0^\circ$ y $180^\circ$, porque se mide desde el semieje positivo de $z$ hacia abajo.

Respuesta: $\rho \approx 7{,}0711$, $\varphi \approx 55{,}55^\circ$, $\theta \approx -149{,}04^\circ$

2. Calculamos el radio. $r = \sqrt{1^{2} + 6^{2}} = \sqrt{37} \approx 6{,}0828$

3. Calculamos el ángulo. $\theta = \arctan\left(\dfrac{6}{1}\right)$, ubicando el resultado en el cuadrante correcto: $\theta \approx 80{,}54^\circ$

4. Controlamos el cuadrante. El punto tiene $x$ positivo e $y$ positivo, así que está en el primer cuadrante. El ángulo obtenido es consistente con eso.

5. Observamos. La calculadora devuelve el arcotangente entre $-90^\circ$ y $90^\circ$, así que hay que ajustar a mano según el cuadrante.

Respuesta: $r \approx 6{,}0828$ y $\theta \approx 80{,}54^\circ$

2. Calculamos la abscisa. $x = 3\cos(0^\circ) = 3$

3. Calculamos la ordenada. $y = 3\operatorname{sen}(0^\circ) = 0$

4. Verificamos. El módulo del punto obtenido es $\sqrt{x^2 + y^2} = 3$, que es el radio dado.

Respuesta: $(3; 0)$

2. Calculamos el radio en el plano. $r = \sqrt{(-6)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{52} \approx 7{,}2111$

3. Calculamos el ángulo. $\theta \approx 146{,}31^\circ$, ubicado en el cuadrante correcto.

4. La altura no cambia. $z = 5$

5. Escribimos el resultado. El punto en cilíndricas es $(\sqrt{52}; 146{,}31^\circ; 5)$.

Respuesta: $r \approx 7{,}2111$, $\theta \approx 146{,}31^\circ$, $z = 5$

2. Calculamos la distancia al origen. $\rho = \sqrt{(-2)^{2} + 5^{2} + 4^{2}} = \sqrt{45} \approx 6{,}7082$

3. Calculamos el ángulo desde el eje $z$. $\varphi = \arccos\left(\dfrac{4}{\sqrt{45}}\right) \approx 53{,}4^\circ$

4. Calculamos el ángulo en el plano. $\theta \approx 111{,}8^\circ$, el mismo que en cilíndricas.

5. Controlamos. El ángulo $\varphi$ siempre queda entre $0^\circ$ y $180^\circ$, porque se mide desde el semieje positivo de $z$ hacia abajo.

Respuesta: $\rho \approx 6{,}7082$, $\varphi \approx 53{,}4^\circ$, $\theta \approx 111{,}8^\circ$

2. Calculamos el radio. $r = \sqrt{(-7)^{2} + (-8)^{2}} = \sqrt{113} \approx 10{,}6301$

3. Calculamos el ángulo. $\theta = \arctan\left(\dfrac{-8}{-7}\right)$, ubicando el resultado en el cuadrante correcto: $\theta \approx -131{,}19^\circ$

4. Controlamos el cuadrante. El punto tiene $x$ negativo e $y$ negativo, así que está en el tercer cuadrante. El ángulo obtenido es consistente con eso.

5. Observamos. La calculadora devuelve el arcotangente entre $-90^\circ$ y $90^\circ$, así que hay que ajustar a mano según el cuadrante.

Respuesta: $r \approx 10{,}6301$ y $\theta \approx -131{,}19^\circ$

2. Calculamos la abscisa. $x = 6\cos(135^\circ) = - 3 \sqrt{2} \approx -4{,}2426$

3. Calculamos la ordenada. $y = 6\operatorname{sen}(135^\circ) = 3 \sqrt{2} \approx 4{,}2426$

4. Verificamos. El módulo del punto obtenido es $\sqrt{x^2 + y^2} = 6$, que es el radio dado.

Respuesta: $(- 3 \sqrt{2}; 3 \sqrt{2}) \approx (-4{,}2426; 4{,}2426)$

2. Calculamos el radio en el plano. $r = \sqrt{(-2)^{2} + (-7)^{2}} = \sqrt{53} \approx 7{,}2801$

3. Calculamos el ángulo. $\theta \approx -105{,}95^\circ$, ubicado en el cuadrante correcto.

4. La altura no cambia. $z = -6$

5. Escribimos el resultado. El punto en cilíndricas es $(\sqrt{53}; -105{,}95^\circ; -6)$.

Respuesta: $r \approx 7{,}2801$, $\theta \approx -105{,}95^\circ$, $z = -6$

2. Calculamos la distancia al origen. $\rho = \sqrt{(-1)^{2} + 2^{2} + (-6)^{2}} = \sqrt{41} \approx 6{,}4031$

3. Calculamos el ángulo desde el eje $z$. $\varphi = \arccos\left(\dfrac{-6}{\sqrt{41}}\right) \approx 159{,}56^\circ$

4. Calculamos el ángulo en el plano. $\theta \approx 116{,}57^\circ$, el mismo que en cilíndricas.

5. Controlamos. El ángulo $\varphi$ siempre queda entre $0^\circ$ y $180^\circ$, porque se mide desde el semieje positivo de $z$ hacia abajo.

Respuesta: $\rho \approx 6{,}4031$, $\varphi \approx 159{,}56^\circ$, $\theta \approx 116{,}57^\circ$