Método

Ejercicios: Qué es una matriz

A=(aij)A = (a_{ij}) con i filas y j columnas

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Dada A=[−5−44−8−67]A = \begin{bmatrix}-5 & -4 & 4 \\ -8 & -6 & 7\end{bmatrix}, indicá su orden y el elemento a22a_{22}.

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1. Contamos filas y columnas. La matriz tiene 22 filas y 33 columnas, así que su orden es 2×32 \times 3.

2. Recordamos cómo se lee un subíndice. En a22a_{22} el primer número es la fila y el segundo la columna, siempre en ese orden.

3. Ubicamos el elemento. Vamos a la fila 22 y dentro de ella a la columna 22.

4. Leemos el valor. a22=−6a_{22} = -6

5. Controlamos. Invertir el orden de los subíndices lleva a otro elemento. La posición de cada número importa: una matriz no es una lista suelta.

Respuesta: el orden es 2×32 \times 3 y a22=−6a_{22} = -6

2. Dada A=[4646−3−72−3−43−15−2−9−8−1]A = \begin{bmatrix}4 & 6 & 4 & 6 \\ -3 & -7 & 2 & -3 \\ -4 & 3 & -1 & 5 \\ -2 & -9 & -8 & -1\end{bmatrix}, escribí su diagonal principal y calculá su traza.

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1. Reconocemos el tipo de matriz. Tiene 44 filas y 44 columnas, así que es cuadrada. Solo las cuadradas tienen diagonal principal.

2. Identificamos la diagonal. La diagonal principal son los elementos donde el número de fila coincide con el de columna.

3. Los listamos. 4,−7,−1,−14, -7, -1, -1

4. Sumamos para obtener la traza. tr⁡(A)=(4)+(−7)+(−1)+(−1)=−5\operatorname{tr}(A) = (4) + (-7) + (-1) + (-1) = -5

Respuesta: la diagonal es 4,−7,−1,−14, -7, -1, -1 y tr⁡(A)=−5\operatorname{tr}(A) = -5

3. Escribí la matriz AA de orden 3×33 \times 3 cuyo elemento genérico es aij=10i+ja_{ij} = 10i + j.

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1. Entendemos la consigna. Nos dan una fórmula que depende de la posición. Hay que recorrer todas las posiciones y calcular cada elemento.

2. Recorremos la primera fila. Con i=1i = 1: a11=11,a12=12,a13=13a_{11} = 11, a_{12} = 12, a_{13} = 13

3. Recorremos las filas restantes. Se repite el procedimiento aumentando el índice de fila.

4. Armamos la matriz. A=[111213212223313233]A = \begin{bmatrix}11 & 12 & 13 \\ 21 & 22 & 23 \\ 31 & 32 & 33\end{bmatrix}

5. Controlamos. La cantidad de elementos tiene que coincidir con el producto de filas por columnas.

Respuesta: A=[111213212223313233]A = \begin{bmatrix}11 & 12 & 13 \\ 21 & 22 & 23 \\ 31 & 32 & 33\end{bmatrix}

4. Decidí si A=[611−1]A = \begin{bmatrix}6 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix} es simétrica.

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1. Recordamos la definición. Una matriz es simétrica cuando coincide con su transpuesta, o sea cuando aij=ajia_{ij} = a_{ji} para todos los pares.

2. Verificamos que sea cuadrada. Es de orden 2×22 \times 2, así que tiene sentido preguntarlo. Una matriz no cuadrada nunca puede ser simétrica.

3. Comparamos los elementos espejados. Cada elemento fuera de la diagonal coincide con el que está en la posición espejada respecto de ella.

4. Concluimos. Todos los pares coinciden, así que la matriz es simétrica.

5. Observamos. La diagonal principal no se compara con nada: cada elemento de la diagonal es su propio espejo.

Respuesta: es simétrica

5. Dada A=[3−96−13−225−1−815]A = \begin{bmatrix}3 & -9 & 6 \\ -1 & 3 & -2 \\ 2 & 5 & -1 \\ -8 & 1 & 5\end{bmatrix}, indicá su orden y el elemento a33a_{33}.

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1. Contamos filas y columnas. La matriz tiene 44 filas y 33 columnas, así que su orden es 4×34 \times 3.

2. Recordamos cómo se lee un subíndice. En a33a_{33} el primer número es la fila y el segundo la columna, siempre en ese orden.

3. Ubicamos el elemento. Vamos a la fila 33 y dentro de ella a la columna 33.

4. Leemos el valor. a33=−1a_{33} = -1

5. Controlamos. Invertir el orden de los subíndices lleva a otro elemento. La posición de cada número importa: una matriz no es una lista suelta.

Respuesta: el orden es 4×34 \times 3 y a33=−1a_{33} = -1

6. Dada A=[127−23−6−68−2]A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 7 \\ -2 & 3 & -6 \\ -6 & 8 & -2\end{bmatrix}, escribí su diagonal principal y calculá su traza.

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1. Reconocemos el tipo de matriz. Tiene 33 filas y 33 columnas, así que es cuadrada. Solo las cuadradas tienen diagonal principal.

2. Identificamos la diagonal. La diagonal principal son los elementos donde el número de fila coincide con el de columna.

3. Los listamos. 1,3,−21, 3, -2

4. Sumamos para obtener la traza. tr⁡(A)=(1)+(3)+(−2)=2\operatorname{tr}(A) = (1) + (3) + (-2) = 2

Respuesta: la diagonal es 1,3,−21, 3, -2 y tr⁡(A)=2\operatorname{tr}(A) = 2

7. Escribí la matriz AA de orden 3×23 \times 2 cuyo elemento genérico es aij=10i+ja_{ij} = 10i + j.

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1. Entendemos la consigna. Nos dan una fórmula que depende de la posición. Hay que recorrer todas las posiciones y calcular cada elemento.

2. Recorremos la primera fila. Con i=1i = 1: a11=11,a12=12a_{11} = 11, a_{12} = 12

3. Recorremos las filas restantes. Se repite el procedimiento aumentando el índice de fila.

4. Armamos la matriz. A=[111221223132]A = \begin{bmatrix}11 & 12 \\ 21 & 22 \\ 31 & 32\end{bmatrix}

5. Controlamos. La cantidad de elementos tiene que coincidir con el producto de filas por columnas.

Respuesta: A=[111221223132]A = \begin{bmatrix}11 & 12 \\ 21 & 22 \\ 31 & 32\end{bmatrix}

8. Decidí si A=[2−7−7−1]A = \begin{bmatrix}2 & -7 \\ -7 & -1\end{bmatrix} es simétrica.

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1. Recordamos la definición. Una matriz es simétrica cuando coincide con su transpuesta, o sea cuando aij=ajia_{ij} = a_{ji} para todos los pares.

2. Verificamos que sea cuadrada. Es de orden 2×22 \times 2, así que tiene sentido preguntarlo. Una matriz no cuadrada nunca puede ser simétrica.

3. Comparamos los elementos espejados. Cada elemento fuera de la diagonal coincide con el que está en la posición espejada respecto de ella.

4. Concluimos. Todos los pares coinciden, así que la matriz es simétrica.

5. Observamos. La diagonal principal no se compara con nada: cada elemento de la diagonal es su propio espejo.

Respuesta: es simétrica

9. Dada A=[−22−3−7−47]A = \begin{bmatrix}-2 & 2 \\ -3 & -7 \\ -4 & 7\end{bmatrix}, indicá su orden y el elemento a11a_{11}.

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1. Contamos filas y columnas. La matriz tiene 33 filas y 22 columnas, así que su orden es 3×23 \times 2.

2. Recordamos cómo se lee un subíndice. En a11a_{11} el primer número es la fila y el segundo la columna, siempre en ese orden.

3. Ubicamos el elemento. Vamos a la fila 11 y dentro de ella a la columna 11.

4. Leemos el valor. a11=−2a_{11} = -2

5. Controlamos. Invertir el orden de los subíndices lleva a otro elemento. La posición de cada número importa: una matriz no es una lista suelta.

Respuesta: el orden es 3×23 \times 2 y a11=−2a_{11} = -2

10. Dada A=[49−3−134−228−2−6−178−86]A = \begin{bmatrix}4 & 9 & -3 & -1 \\ 3 & 4 & -2 & 2 \\ 8 & -2 & -6 & -1 \\ 7 & 8 & -8 & 6\end{bmatrix}, escribí su diagonal principal y calculá su traza.

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1. Reconocemos el tipo de matriz. Tiene 44 filas y 44 columnas, así que es cuadrada. Solo las cuadradas tienen diagonal principal.

2. Identificamos la diagonal. La diagonal principal son los elementos donde el número de fila coincide con el de columna.

3. Los listamos. 4,4,−6,64, 4, -6, 6

4. Sumamos para obtener la traza. tr⁡(A)=(4)+(4)+(−6)+(6)=8\operatorname{tr}(A) = (4) + (4) + (-6) + (6) = 8

Respuesta: la diagonal es 4,4,−6,64, 4, -6, 6 y tr⁡(A)=8\operatorname{tr}(A) = 8

11. Escribí la matriz AA de orden 2×32 \times 3 cuyo elemento genérico es aij=10i+ja_{ij} = 10i + j.

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1. Entendemos la consigna. Nos dan una fórmula que depende de la posición. Hay que recorrer todas las posiciones y calcular cada elemento.

2. Recorremos la primera fila. Con i=1i = 1: a11=11,a12=12,a13=13a_{11} = 11, a_{12} = 12, a_{13} = 13

3. Recorremos las filas restantes. Se repite el procedimiento aumentando el índice de fila.

4. Armamos la matriz. A=[111213212223]A = \begin{bmatrix}11 & 12 & 13 \\ 21 & 22 & 23\end{bmatrix}

5. Controlamos. La cantidad de elementos tiene que coincidir con el producto de filas por columnas.

Respuesta: A=[111213212223]A = \begin{bmatrix}11 & 12 & 13 \\ 21 & 22 & 23\end{bmatrix}

12. Decidí si A=[4−2−23]A = \begin{bmatrix}4 & -2 \\ -2 & 3\end{bmatrix} es simétrica.

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1. Recordamos la definición. Una matriz es simétrica cuando coincide con su transpuesta, o sea cuando aij=ajia_{ij} = a_{ji} para todos los pares.

2. Verificamos que sea cuadrada. Es de orden 2×22 \times 2, así que tiene sentido preguntarlo. Una matriz no cuadrada nunca puede ser simétrica.

3. Comparamos los elementos espejados. Cada elemento fuera de la diagonal coincide con el que está en la posición espejada respecto de ella.

4. Concluimos. Todos los pares coinciden, así que la matriz es simétrica.

5. Observamos. La diagonal principal no se compara con nada: cada elemento de la diagonal es su propio espejo.

Respuesta: es simétrica

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