Qué es una matriz

Una matriz es un arreglo rectangular de números organizados en filas y columnas. No es una lista de números sueltos: la posición de cada uno importa y le da su significado.

El tamaño se indica con dos números, primero la cantidad de filas y después la de columnas. Ese orden es una convención estricta y se usa todo el tiempo, así que conviene fijarlo desde el principio.

Cada elemento se identifica con dos subíndices, también fila primero y columna después. La diagonal principal son los elementos que tienen los dos subíndices iguales.

Hay tipos con nombre propio que aparecen seguido. Una matriz cuadrada tiene la misma cantidad de filas que de columnas. Una fila o una columna son matrices con una sola de cada una. La matriz nula tiene todos ceros.

Las matrices sirven para muchas cosas distintas: guardar los coeficientes de un sistema, representar una transformación del espacio, o simplemente organizar datos en una tabla. Esa versatilidad es lo que las hace centrales en toda el álgebra lineal.

A = (a_{ij})

con i filas y j columnas

Cuándo se usa

Es la base de todo el volumen. Cuando el ejercicio hable de una matriz de tal por tal, acordate que el primer número son las filas. Los subíndices también van fila primero.

Ejemplo 1

Indicar la dimensión de $\begin{bmatrix} 7 & 0 & -2 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}$ y el valor de $a_{23}$ .

Contamos las filas. Hay dos renglones horizontales, así que son $2$ filas.
Contamos las columnas. Hay tres columnas verticales.
Escribimos la dimensión. Primero filas y después columnas: $2 \times 3$ .
Ubicamos el elemento pedido. $a_{23}$ está en la fila $2 y$ la columna $3$ : es el $5$ .
Verificamos con otro elemento. $a_{12} = 0$ , que es el de la fila $1 y$ columna $2$ . Si diera otro número, estaríamos leyendo los índices al revés.
Respuesta: es $2 \times 3$ y $a_{23} = 5$

Ejemplo 2

Escribir la matriz $2 \times 3$ definida por $a_{ij} = i + j$ .

Entendemos la regla. Cada elemento vale la suma de sus dos índices.
Calculamos la primera fila, con $i = 1$ . $a_{11} = 2$ , $a_{12} = 3$ y $a_{13} = 4$ .
Calculamos la segunda fila, con $i = 2$ . $a_{21} = 3$ , $a_{22} = 4$ y $a_{23} = 5$ .
Armamos la matriz. Queda $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$ .
Controlamos la dimensión. Dos filas y tres columnas, que es lo que pedía el enunciado.
Respuesta: $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$

Error típico

Dar vuelta la dimensión. Una matriz de $2$ filas $y 3$ columnas es $2 \times 3$ , no $3 \times 2$ . El error parece menor acá, pero más adelante hace que un producto que sí se puede hacer parezca imposible, o al revés.

Practicar

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Otros subtemas de Matrices, determinantes y sistemas

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