Método

Sistemas lineales y forma matricial

Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir como una sola ecuación matricial: la matriz de coeficientes multiplicada por el vector de incógnitas igual al vector de términos independientes.

Esa escritura no es solo notación más corta. Convierte un problema de varias ecuaciones en uno de despejar una incógnita, y permite aplicar todo lo que se sabe de matrices.

La matriz ampliada agrega una columna con los términos independientes al costado de los coeficientes. Es la que se usa para aplicar Gauss, porque las operaciones tienen que afectar también a esos términos.

Un sistema puede ser compatible determinado, con solución única; compatible indeterminado, con infinitas soluciones; o incompatible, sin ninguna.

Esos tres casos tienen una lectura geométrica clara. Con dos incógnitas cada ecuación es una recta: se cortan en un punto, son la misma recta, o son paralelas. Con tres incógnitas cada ecuación es un plano y las combinaciones son más variadas, pero la idea es la misma.

Ax=bA x = b
Cuándo se usa

Cuando el ejercicio da un sistema. Escribí la matriz ampliada antes de empezar a operar: es lo que permite aplicar Gauss sin arrastrar las variables.

Ejemplo 1

Escribir en forma matricial y ampliada el sistema 2x+3y=82x + 3y = 8, x−y=−1x - y = -1.

Ordenamos las incógnitas. Las dos ecuaciones ya están con xx primero y yy después.
Armamos la forma matricial. [231−1]\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
por x
y

igual a [8−1]\begin{bmatrix} 8 \\ -1 \end{bmatrix}.
Escribimos la ampliada. [2381−1−1]\begin{bmatrix} 2 & 3 & 8 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}, con la raya separando los términos independientes.
Respuesta: [2381−1−1]\begin{bmatrix} 2 & 3 & 8 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}

Ejemplo 2

Verificar si (1,2)(1, 2) es solución de ese sistema.

Reemplazamos en la primera ecuación. 2⋅1+3⋅2=2+6=82 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 2 + 6 = 8. Coincide con el término independiente.
Reemplazamos en la segunda. 1−2=−11 - 2 = -1. También coincide.
Concluimos. El par cumple las dos ecuaciones a la vez, así que sí es solución. Cumplir una sola no alcanza.
Respuesta: sí, es solución

Error típico

Armar la matriz sin ordenar antes las incógnitas. Si en una ecuación está escrito 3y+2x=5y3y + 2x = 5 y en otra 2x+y=12x + y = 1, hay que acomodar las dos en el mismo orden antes de pasar a la matriz, o las columnas quedan mezcladas.

Practicar

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