Método de Gauss

El método de Gauss resuelve sistemas transformándolos en otros equivalentes más simples, usando operaciones que no cambian el conjunto de soluciones.

Esas operaciones son tres: intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un número distinto de cero, y sumarle a una fila un múltiplo de otra. Ninguna altera las soluciones.

El objetivo es llegar a una matriz escalonada, donde cada fila arranca con más ceros que la anterior. Desde ahí el sistema se resuelve hacia atrás: de la última ecuación se despeja una variable y se va subiendo.

El procedimiento es sistemático: se elige un elemento no nulo como pivote, se hacen ceros debajo de él, y se pasa a la siguiente columna.

Al terminar, la forma escalonada dice de inmediato qué tipo de sistema es. Si aparece una fila con todos ceros en los coeficientes pero término independiente no nulo, el sistema es incompatible. Si hay filas de ceros completas, hay infinitas soluciones.

Es el método más general: sirve para cualquier sistema, con cualquier cantidad de ecuaciones e incógnitas.

F_{i} \to F_{i} + k F_{j}

Cuándo se usa

Es el método por defecto para resolver cualquier sistema. Trabajá con la matriz ampliada, hacé ceros debajo de cada pivote, y resolvé hacia atrás desde la última fila.

Ejemplo 1

Resolver por Gauss el sistema $x + 2y = 5$ , $3x + y = 5$ .

Armamos la ampliada y buscamos el cero. De $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 1 & 5 \end{bmatrix}$
hacemos $F_{2} - 3F_{1}$ , que da la fila $(0, -5, -10)$ .
Despejamos desde la última fila. Esa fila dice $-5y = -10$ , así que $y = 2$ .
Subimos a la primera. Queda $x + 2 \cdot 2 = 5$ , o sea $x = 1$ . Verificamos en la segunda ecuación original: $3 \cdot 1 + 2 = 5$ .
Respuesta: $x = 1$ , $y = 2$

Ejemplo 2

Escalonar $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 2 & 1 & 7 \\ 2 & 1 & 0 & 5 \end{bmatrix}$ y resolver.

Hacemos ceros en la primera columna. Con $F_{3} - 2F_{1}$ la tercera fila pasa a $(0, -1, -2, -7)$ .
Hacemos el cero que falta. Con $2F_{3} + F_{2}$ queda $(0, 0, -3, -7)$ y la matriz está escalonada.
Despejamos hacia arriba. De la última fila $z = 7/3$ , después $y = 7/3$ y por último $x = 4/3$ . Las fracciones son normales: no indican error.
Respuesta: $x = 4/3$ , $y = 7/3$ , $z = 7/3$

Error típico

Operar sobre las columnas. Las operaciones elementales de Gauss son solo con filas: cada columna representa una incógnita y mezclarlas cambia el sistema por otro distinto.

Practicar

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