Método

Ejercicios: Método de Gauss

Fi→Fi+kFjF_{i} \to F_{i} + k F_{j}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Resolvé por el método de Gauss el sistema de matriz ampliada [−41−2−22−418−5−2−35]\begin{bmatrix}-4 & 1 & -2 & -2 \\ 2 & -4 & 1 & 8 \\ -5 & -2 & -3 & 5\end{bmatrix}.

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1. Entendemos el método. Gauss transforma el sistema en otro equivalente más simple, usando operaciones que no cambian el conjunto de soluciones: intercambiar filas, multiplicar una por un número no nulo, y sumarle a una un múltiplo de otra.

2. Escalonamos hacia abajo. Se usa el primer elemento de la primera fila para anular los que están debajo, y después se repite con la segunda columna.

3. Llegamos a la forma triangular. Con la matriz escalonada, la última ecuación tiene una sola incógnita.

4. Sustituimos hacia atrás. De abajo hacia arriba salen z=−2z = -2, y=−2y = -2 y x=1x = 1.

5. Verificamos. Reemplazando en la primera ecuación: (−4)(1)+(1)(−2)+(−2)(−2)=−2(-4)(1) + (1)(-2) + (-2)(-2) = -2.

Respuesta: x=1x = 1, y=−2y = -2, z=−2z = -2

2. El método de Gauss llevó un sistema a la forma [12−13014−20005]\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 5\end{bmatrix}. Clasificá el sistema.

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1. Leemos la última fila. La última fila dice 0x+0y+0z=50x + 0y + 0z = 5.

2. Interpretamos. Eso es imposible: el lado izquierdo vale cero siempre, y el derecho vale 55, distinto de cero.

3. Concluimos. El sistema no tiene solución: es incompatible.

4. Observamos. Una fila de ceros con término independiente no nulo es la señal inmediata de incompatibilidad. No hace falta seguir sustituyendo.

Respuesta: el sistema es incompatible: no tiene solución

3. El método de Gauss llevó un sistema a la forma [1−124013−10000]\begin{bmatrix}1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}. Clasificá el sistema y describí sus soluciones.

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1. Leemos la última fila. Dice 00, que se cumple siempre. Esa ecuación no aporta información y se descarta.

2. Contamos ecuaciones útiles e incógnitas. Quedan dos ecuaciones con tres incógnitas, así que hay una incógnita libre.

3. Elegimos el parámetro. Tomamos z=tz = t como parámetro libre.

4. Despejamos hacia atrás. De la segunda ecuación sale y=−1−3ty = -1 - 3t, y reemplazando en la primera queda x=3−5tx = 3 - 5t.

5. Concluimos. El sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones, una por cada valor de tt.

Respuesta: es compatible indeterminado, con soluciones x=3−5tx = 3 - 5t, y=−1−3ty = -1 - 3t, z=tz = t

4. Clasificá el sistema de matriz ampliada [−54316−2−2−34−5153]\begin{bmatrix}-5 & 4 & 3 & 16 \\ -2 & -2 & -3 & 4 \\ -5 & 1 & 5 & 3\end{bmatrix} sin resolverlo del todo.

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1. Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes. det⁡(A)=99\det(A) = 99, distinto de cero.

2. Aplicamos el criterio. Si el determinante de la matriz de coeficientes no es cero, la matriz es inversible y el sistema tiene solución única.

3. Concluimos. El sistema es compatible determinado.

4. Observamos. Este atajo solo sirve cuando la matriz de coeficientes es cuadrada. Con sistemas rectangulares hay que ir por rangos.

Respuesta: es compatible determinado: tiene solución única

5. Resolvé por el método de Gauss el sistema de matriz ampliada [4−4−4−8−4−2−5−222−358]\begin{bmatrix}4 & -4 & -4 & -8 \\ -4 & -2 & -5 & -22 \\ 2 & -3 & 5 & 8\end{bmatrix}.

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1. Entendemos el método. Gauss transforma el sistema en otro equivalente más simple, usando operaciones que no cambian el conjunto de soluciones: intercambiar filas, multiplicar una por un número no nulo, y sumarle a una un múltiplo de otra.

2. Escalonamos hacia abajo. Se usa el primer elemento de la primera fila para anular los que están debajo, y después se repite con la segunda columna.

3. Llegamos a la forma triangular. Con la matriz escalonada, la última ecuación tiene una sola incógnita.

4. Sustituimos hacia atrás. De abajo hacia arriba salen z=2z = 2, y=2y = 2 y x=2x = 2.

5. Verificamos. Reemplazando en la primera ecuación: (4)(2)+(−4)(2)+(−4)(2)=−8(4)(2) + (-4)(2) + (-4)(2) = -8.

Respuesta: x=2x = 2, y=2y = 2, z=2z = 2

6. El método de Gauss llevó un sistema a la forma [1−32001−140007]\begin{bmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 7\end{bmatrix}. Clasificá el sistema.

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1. Leemos la última fila. La última fila dice 0x+0y+0z=70x + 0y + 0z = 7.

2. Interpretamos. Eso es imposible: el lado izquierdo vale cero siempre, y el derecho vale 77, distinto de cero.

3. Concluimos. El sistema no tiene solución: es incompatible.

4. Observamos. Una fila de ceros con término independiente no nulo es la señal inmediata de incompatibilidad. No hace falta seguir sustituyendo.

Respuesta: el sistema es incompatible: no tiene solución

7. El método de Gauss llevó un sistema a la forma [12−1501420000]\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & 5 \\ 0 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}. Clasificá el sistema y describí sus soluciones.

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1. Leemos la última fila. Dice 00, que se cumple siempre. Esa ecuación no aporta información y se descarta.

2. Contamos ecuaciones útiles e incógnitas. Quedan dos ecuaciones con tres incógnitas, así que hay una incógnita libre.

3. Elegimos el parámetro. Tomamos z=tz = t como parámetro libre.

4. Despejamos hacia atrás. De la segunda ecuación sale y=2−4ty = 2 - 4t, y reemplazando en la primera queda x=1+9tx = 1 + 9t.

5. Concluimos. El sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones, una por cada valor de tt.

Respuesta: es compatible indeterminado, con soluciones x=1+9tx = 1 + 9t, y=2−4ty = 2 - 4t, z=tz = t

8. Clasificá el sistema de matriz ampliada [1−1−16−51−4−132−348]\begin{bmatrix}1 & -1 & -1 & 6 \\ -5 & 1 & -4 & -13 \\ 2 & -3 & 4 & 8\end{bmatrix} sin resolverlo del todo.

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1. Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes. det⁡(A)=−33\det(A) = -33, distinto de cero.

2. Aplicamos el criterio. Si el determinante de la matriz de coeficientes no es cero, la matriz es inversible y el sistema tiene solución única.

3. Concluimos. El sistema es compatible determinado.

4. Observamos. Este atajo solo sirve cuando la matriz de coeficientes es cuadrada. Con sistemas rectangulares hay que ir por rangos.

Respuesta: es compatible determinado: tiene solución única

9. Resolvé por el método de Gauss el sistema de matriz ampliada [−3−41−3−5−215−1335]\begin{bmatrix}-3 & -4 & 1 & -3 \\ -5 & -2 & 1 & 5 \\ -1 & 3 & 3 & 5\end{bmatrix}.

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1. Entendemos el método. Gauss transforma el sistema en otro equivalente más simple, usando operaciones que no cambian el conjunto de soluciones: intercambiar filas, multiplicar una por un número no nulo, y sumarle a una un múltiplo de otra.

2. Escalonamos hacia abajo. Se usa el primer elemento de la primera fila para anular los que están debajo, y después se repite con la segunda columna.

3. Llegamos a la forma triangular. Con la matriz escalonada, la última ecuación tiene una sola incógnita.

4. Sustituimos hacia atrás. De abajo hacia arriba salen z=−1z = -1, y=2y = 2 y x=−2x = -2.

5. Verificamos. Reemplazando en la primera ecuación: (−3)(−2)+(−4)(2)+(1)(−1)=−3(-3)(-2) + (-4)(2) + (1)(-1) = -3.

Respuesta: x=−2x = -2, y=2y = 2, z=−1z = -1

10. El método de Gauss llevó un sistema a la forma [210−10312000−4]\begin{bmatrix}2 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -4\end{bmatrix}. Clasificá el sistema.

Ver solución

1. Leemos la última fila. La última fila dice 0x+0y+0z=40x + 0y + 0z = 4.

2. Interpretamos. Eso es imposible: el lado izquierdo vale cero siempre, y el derecho vale 44, distinto de cero.

3. Concluimos. El sistema no tiene solución: es incompatible.

4. Observamos. Una fila de ceros con término independiente no nulo es la señal inmediata de incompatibilidad. No hace falta seguir sustituyendo.

Respuesta: el sistema es incompatible: no tiene solución

11. El método de Gauss llevó un sistema a la forma [103−201−260000]\begin{bmatrix}1 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}. Clasificá el sistema y describí sus soluciones.

Ver solución

1. Leemos la última fila. Dice 00, que se cumple siempre. Esa ecuación no aporta información y se descarta.

2. Contamos ecuaciones útiles e incógnitas. Quedan dos ecuaciones con tres incógnitas, así que hay una incógnita libre.

3. Elegimos el parámetro. Tomamos z=tz = t como parámetro libre.

4. Despejamos hacia atrás. De la segunda ecuación sale y=6+2ty = 6 + 2t, y reemplazando en la primera queda x=−2−3tx = -2 - 3t.

5. Concluimos. El sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones, una por cada valor de tt.

Respuesta: es compatible indeterminado, con soluciones x=−2−3tx = -2 - 3t, y=6+2ty = 6 + 2t, z=tz = t

12. Clasificá el sistema de matriz ampliada [−11−12−51415−45316]\begin{bmatrix}-1 & 1 & -1 & 2 \\ -5 & 1 & 4 & 15 \\ -4 & 5 & 3 & 16\end{bmatrix} sin resolverlo del todo.

Ver solución

1. Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes. det⁡(A)=37\det(A) = 37, distinto de cero.

2. Aplicamos el criterio. Si el determinante de la matriz de coeficientes no es cero, la matriz es inversible y el sistema tiene solución única.

3. Concluimos. El sistema es compatible determinado.

4. Observamos. Este atajo solo sirve cuando la matriz de coeficientes es cuadrada. Con sistemas rectangulares hay que ir por rangos.

Respuesta: es compatible determinado: tiene solución única

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