Integradores de Matrices, determinantes y sistemas

1. Contamos filas y columnas. $A$ tiene 2 filas y 2 columnas, así que su dimensión es $2 \times 2$.

2. Ubicamos $a_{21}$. El primer subíndice es la fila y el segundo la columna, así que es el elemento de la fila $2$ y la columna $1$.

3. Lo leemos. Es el $3$.

Respuesta: $A$ es de $2 \times 2$ y $a_{21} = 3$

b)

1. Chequeamos que se pueda. Sumar y restar matrices pide que sean de la misma dimensión, y $B$ también es de $2 \times 2$ como vimos en a).

2. Multiplicamos $A$ por $2$. Se multiplica cada elemento: $2A = \begin{bmatrix}4 & -2 \\ 6 & 8\end{bmatrix}$.

3. Restamos $B$ elemento a elemento. $2A - B = \begin{bmatrix}3 & -2 \\ 8 & 3\end{bmatrix}$.

Respuesta: $2A - B = \begin{bmatrix}3 & -2 \\ 8 & 3\end{bmatrix}$

c)

1. Chequeamos las dimensiones. El producto se puede porque las columnas de $A$ son tantas como las filas de $B$, y el resultado va a ser de $2 \times 2$. Ojo que esto no es como la resta de b): ahí hacían falta dimensiones iguales, acá hace falta que encajen.

2. Calculamos la primera fila. $c_{11} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) = 4$ y $c_{12} = 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 5 = -5$.

3. Calculamos la segunda fila. $c_{21} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) = -5$ y $c_{22} = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 5 = 20$.

Respuesta: $A \cdot B = \begin{bmatrix}4 & -5 \\ -5 & 20\end{bmatrix}$

d)

1. Transponemos el producto de c). Las filas de $\begin{bmatrix}4 & -5 \\ -5 & 20\end{bmatrix}$ pasan a ser columnas: $(A \cdot B)^{T} = \begin{bmatrix}4 & -5 \\ -5 & 20\end{bmatrix}$.

2. Calculamos las dos transpuestas. $A^{T} = \begin{bmatrix}2 & 3 \\ -1 & 4\end{bmatrix}$ y $B^{T} = \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 0 & 5\end{bmatrix}$.

3. Multiplicamos en ese orden. $B^{T} A^{T} = \begin{bmatrix}4 & -5 \\ -5 & 20\end{bmatrix}$.

4. Comparamos. Dan lo mismo. La transpuesta de un producto da vuelta el orden de los factores, y ese es el error típico: escribir $A^{T} B^{T}$, que acá ni siquiera daría lo mismo.

Respuesta: $(A \cdot B)^{T} = \begin{bmatrix}4 & -5 \\ -5 & 20\end{bmatrix}$, igual a $B^{T} A^{T}$

1. Sumamos las tres diagonales que bajan. $2 2 3 + 1 0 1 + 0 1 1 = 12$.

2. Sumamos las tres que suben. $0 0 3 + 2 1 1 + 1 2 1 = 4$.

3. Restamos. $\det(A) = 12 - 4 = 8$.

Respuesta: $\det(A) = 8$

b)

1. Elegimos la primera columna. Tiene un cero, así que uno de los tres términos se va a anular y hay una cuenta menos.

2. Calculamos los cofactores. $C_{11} = 5$, $C_{21} = -2$ y $C_{31} = 1$.

3. Armamos la suma. $\det(A) = 2 \cdot 5 + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 1 = 8$.

4. Comparamos con a). Da $8$, el mismo valor. Tenía que dar igual: el determinante no depende de por dónde se lo desarrolle.

Respuesta: $\det(A) = 8$

c)

1. Cuidado con la propiedad. Multiplicar la matriz por $2$ no multiplica el determinante por $2$: multiplica cada una de las $3$ filas, así que el determinante queda multiplicado por $2^{3}$.

2. Aplicamos. $\det(2A) = 2^{3} \det(A) = 8 \cdot 8$.

3. Cerramos la cuenta. Da $64$.

Respuesta: $\det(2A) = 64$

d)

1. Vemos si existe. El determinante de $2A$ que dio c) es $64$, distinto de cero, así que $2A$ es inversible.

2. Usamos la propiedad del escalar. Como $2A$ es $A$ multiplicada por $2$, su inversa es $\dfrac{1}{2}$ de la inversa de $A$: el escalar sale invertido.

3. Calculamos primero $A^{-1}$. La adjunta es $\begin{bmatrix}5 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 5\end{bmatrix}$ y dividiendo por el determinante de a) queda $A^{-1} = \begin{bmatrix}\dfrac{5}{8} & - \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{8} \\ - \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & - \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{1}{8} & - \dfrac{1}{4} & \dfrac{5}{8}\end{bmatrix}$.

4. Multiplicamos por $\dfrac{1}{2}$. $(2A)^{-1} = \begin{bmatrix}\dfrac{5}{16} & - \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{16} \\ - \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{4} & - \dfrac{1}{8} \\ \dfrac{1}{16} & - \dfrac{1}{8} & \dfrac{5}{16}\end{bmatrix}$.

5. Verificamos. $(2A) \cdot (2A)^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$, que es la identidad.

Respuesta: $(2A)^{-1} = \begin{bmatrix}\dfrac{5}{16} & - \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{16} \\ - \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{4} & - \dfrac{1}{8} \\ \dfrac{1}{16} & - \dfrac{1}{8} & \dfrac{5}{16}\end{bmatrix}$

1. Separamos coeficientes, incógnitas y términos independientes. Los coeficientes van en $A$ respetando el orden de las columnas.

2. Escribimos las tres piezas. $A = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1\end{bmatrix}$, $\vec{x} = \begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix}$ y $\vec{b} = \begin{bmatrix}6 \\ 3 \\ 2\end{bmatrix}$.

3. Pegamos la ampliada. Es $A$ con la columna de $\vec{b}$ al lado: $\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 2\end{bmatrix}$.

Respuesta: $A = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1\end{bmatrix}$ y la ampliada es $\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 2\end{bmatrix}$

b)

1. Partimos de la ampliada de a). Vamos a hacer ceros debajo de la diagonal con operaciones entre filas.

2. Escalonamos. Reduciendo por filas, la ampliada queda en $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}$.

3. Leemos la solución. Cada fila da directamente una incógnita: $x = 1$, $y = 2$, $z = 3$.

4. Verificamos en la primera ecuación. $1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 6$, que es el término independiente.

Respuesta: $x = 1$, $y = 2$, $z = 3$

c)

1. Miramos el rango de $A$. Como b) dejó tres pivotes, el rango de $A$ es $3$.

2. Miramos el rango de la ampliada. También es $3$: la columna de términos independientes no agrega ningún pivote.

3. Comparamos con la cantidad de incógnitas. Los dos rangos valen $3$ y hay $3$ incógnitas, así que el sistema es compatible determinado, que es lo que ya se vio en b) al salir una sola solución.

Respuesta: compatible determinado, con rango $3$

d)

1. Calculamos el determinante de $A$. Da $7$, distinto de cero, que es la condición para poder usar Cramer y coincide con el compatible determinado de c).

2. Armamos la matriz de la primera columna. Reemplazamos la columna de $x$ por $\vec{b}$: $\begin{bmatrix}6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1\end{bmatrix}$.

3. Calculamos su determinante. Da $7$.

4. Dividimos. $x = \dfrac{7}{7} = 1$, el mismo valor de b).

Respuesta: $x = 1$

1. Es el producto de $A$ por sí misma. No es elevar cada elemento al cuadrado: ese es el error típico.

2. Calculamos las cuatro entradas. $2 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = 4$, $2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 5$, $0 \cdot 2 + 3 \cdot 0 = 0$ y $0 \cdot 1 + 3 \cdot 3 = 9$.

3. Armamos la matriz. Queda $\begin{bmatrix}4 & 5 \\ 0 & 9\end{bmatrix}$.

Respuesta: $A^{2} = \begin{bmatrix}4 & 5 \\ 0 & 9\end{bmatrix}$

b)

1. Usamos $A^{2}$ de a). $A^{3} = A^{2} \cdot A$, así que multiplicamos $\begin{bmatrix}4 & 5 \\ 0 & 9\end{bmatrix}$ por $A$.

2. Calculamos las entradas. Queda $\begin{bmatrix}8 & 19 \\ 0 & 27\end{bmatrix}$.

3. Miramos la forma. $A$ es triangular superior y sus potencias también lo son: los ceros de abajo se mantienen.

Respuesta: $A^{3} = \begin{bmatrix}8 & 19 \\ 0 & 27\end{bmatrix}$

c)

1. Calculamos $\det(A)$. Es triangular, así que es el producto de la diagonal: $2 \cdot 3 = 6$.

2. Calculamos $\det(A^{3})$ con la matriz de b). También es triangular: $8 \cdot 27 = 216$.

3. Chequeamos la propiedad. El determinante de un producto es el producto de los determinantes, así que $\det(A^{3})$ tiene que ser $6^{3} = 216$, y da eso.

Respuesta: $\det(A) = 6$ y $\det(A^{3}) = 216$

d)

1. Usamos el determinante de c). Dio $6$, distinto de cero.

2. Concluimos. Una matriz cuadrada de $2 \times 2$ con determinante no nulo tiene rango máximo.

3. Lo confirmamos escalonando. Las dos filas dejan pivote, así que el rango es $2$.

Respuesta: el rango de $A$ es $2$

1. Miramos si hay filas repetidas. La segunda fila es el doble de la primera: $\begin{bmatrix}2 & 4 & 6\end{bmatrix} = 2 \cdot \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}$.

2. Escalonamos. Al restar el doble de la primera a la segunda, esa fila se anula entera.

3. Contamos pivotes. Quedan $2$ filas no nulas, así que el rango es $2$.

Respuesta: el rango de $A$ es $2$

b)

1. Armamos la ampliada. Es $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 6 \\ 2 & 4 & 6 & 12 \\ 1 & 1 & 1 & 3\end{bmatrix}$.

2. Miramos su rango. La segunda fila de la ampliada también es el doble de la primera, así que se anula igual que en a): el rango de la ampliada también es $2$.

3. Aplicamos Rouché. Los dos rangos valen $2$ y son iguales, así que hay solución; pero $2$ es menor que las $3$ incógnitas, así que no es única.

Respuesta: compatible indeterminado: los dos rangos valen $2$ y hay $1$ grado de libertad

c)

1. Anticipamos cuántas soluciones hay. El rango es $2$ y hay $3$ incógnitas, así que el homogéneo tiene $1$ grado de libertad y soluciones distintas de la trivial.

2. Escalonamos. El sistema se reduce a las ecuaciones $x + 2y + 3z = 0$ y $x + y + z = 0$.

3. Despejamos. Restando queda $y + 2z = 0$, o sea $y = -2z$, y reemplazando, $x = z$.

4. Escribimos la solución. Es la recta generada por $(1; -2; 1)$.

Respuesta: hay infinitas soluciones: los múltiplos de $(1; -2; 1)$

d)

1. Vemos qué es cada ecuación. Cada una de las tres es un plano en el espacio.

2. Usamos lo de b) y c). El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad, y c) mostró que la dirección libre es la de $(1; -2; 1)$.

3. Lo traducimos. Un conjunto solución de dimensión $1$ es una recta: los tres planos se cortan en una recta y no en un punto. Los planos primero y segundo son en realidad el mismo, porque una ecuación es el doble de la otra.

Respuesta: los tres planos se cortan en una recta, porque el rango es $2$

1. Separamos las tres piezas. Los coeficientes van en $A$, las incógnitas en $\vec{x}$ y los independientes en $\vec{b}$.

2. Las escribimos. $A = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}$, $\vec{x} = \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$ y $\vec{b} = \begin{bmatrix}5 \\ 3\end{bmatrix}$.

3. Chequeamos las dimensiones. $A$ es de $2 \times 2$ y $\vec{x}$ de $2 \times 1$, así que el producto da un vector de $2 \times 1$ como $\vec{b}$.

Respuesta: $A = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}$ y $\vec{b} = \begin{bmatrix}5 \\ 3\end{bmatrix}$

b)

1. Armamos la matriz aumentada con la identidad. Al lado de la $A$ de a) ponemos la identidad: $\begin{bmatrix}2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1\end{bmatrix}$.

2. Operamos por filas hasta dejar la identidad a la izquierda. Restando la segunda fila a la primera y después ajustando, el bloque de la izquierda llega a la identidad.

3. Leemos el bloque de la derecha. Es la inversa: $\begin{bmatrix}1 & -1 \\ -1 & 2\end{bmatrix}$.

4. Verificamos. $A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$.

Respuesta: $A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & -1 \\ -1 & 2\end{bmatrix}$

c)

1. Usamos la inversa de b). Multiplicamos $\begin{bmatrix}1 & -1 \\ -1 & 2\end{bmatrix}$ por $\vec{b}$.

2. Hacemos el producto. La primera componente es $1 \cdot 5 + (-1) \cdot 3 = 2$ y la segunda es $(-1) \cdot 5 + 2 \cdot 3 = 1$.

3. Verificamos en el sistema. $2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 5$, que es el primer término independiente.

Respuesta: $x = 2$ e $y = 1$

d)

1. Calculamos $\det(A)$. Da $1$, y tiene que ser distinto de cero, cosa que ya sabíamos porque en b) la inversa existió.

2. Reemplazamos la primera columna por $\vec{b}$. Queda $\begin{bmatrix}5 & 1 \\ 3 & 1\end{bmatrix}$.

3. Calculamos su determinante y dividimos. $x = \dfrac{2}{1} = 2$, el mismo valor de c).

Respuesta: $x = 2$

1. Contamos filas y columnas. Son 2 y 2, así que la dimensión es $2 \times 2$.

2. Ubicamos $a_{12}$. Fila $1$, columna $2$.

3. Lo leemos. Vale $1$.

Respuesta: $A$ es de $2 \times 2$ y $a_{12} = 1$

b)

1. Chequeamos que se pueda. El determinante existe solo para matrices cuadradas, y en a) vimos que $A$ es de $2 \times 2$.

2. Aplicamos la fórmula del $2 \times 2$. Producto de la diagonal principal menos el de la otra: $3 \cdot 4 - 1 \cdot 2$.

3. Cerramos la cuenta. Da $10$.

Respuesta: $\det(A) = 10$

c)

1. Anotamos qué traemos de b). El determinante ahí dio $10$ y lo vamos a usar en d); acá solo multiplicamos la matriz.

2. Multiplicamos cada elemento por $3$. No solo una fila: el escalar entra en las cuatro entradas.

3. Escribimos el resultado. $3A = \begin{bmatrix}9 & 3 \\ 6 & 12\end{bmatrix}$.

4. Anotamos para d). Multiplicar toda la matriz por $3$ es multiplicar cada una de las $2$ filas por $3$, y eso es lo que va a importar en el determinante.

Respuesta: $3A = \begin{bmatrix}9 & 3 \\ 6 & 12\end{bmatrix}$

d)

1. Usamos la propiedad. El determinante es lineal en cada fila, así que sacar un $3$ de cada una de las $2$ filas da $\det(3A) = 3^{2}\det(A)$.

2. Reemplazamos el determinante de b). $\det(3A) = 9 \cdot 10$.

3. Cerramos. Da $90$. El error típico es contestar $3 \cdot 10$: el escalar no sale una sola vez, sale una por fila.

4. Lo chequeamos con la matriz de c). El determinante de $\begin{bmatrix}9 & 3 \\ 6 & 12\end{bmatrix}$ es $9 \cdot 12 - 3 \cdot 6 = 90$.

Respuesta: $\det(3A) = 90$

1. Reemplazamos $k = 2$ y armamos la ampliada. Queda $\begin{bmatrix}1 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 6\end{bmatrix}$.

2. Hacemos cero debajo del primer pivote. A la segunda fila le restamos $3$ veces la primera.

3. Leemos la solución. La ampliada reducida queda $\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \dfrac{3}{2}\end{bmatrix}$, así que $x = 1$ e $y = \dfrac{3}{2}$.

4. Verificamos en la segunda ecuación. $3 \cdot 1 + 2 \cdot \dfrac{3}{2} = 6$.

Respuesta: para $k = 2$, $x = 1$ e $y = \dfrac{3}{2}$

b)

1. Volvemos al caso general. Escalonando la ampliada sin fijar $k$, la segunda fila queda con pivote $k - 6$.

2. Suponemos que no se anula. Si $k - 6$ no es cero hay dos pivotes, así que el rango de $A$ es $2$ y el de la ampliada también.

3. Aplicamos Rouché. Los dos rangos valen $2$, que es la cantidad de incógnitas: compatible determinado. El caso $k = 2$ de a) es uno de estos, y por eso ahí salió una sola solución.

Respuesta: para $k$ distinto de $6$ es compatible determinado, con los dos rangos iguales a $2$

c)

1. Buscamos cuándo falla el pivote de b). Se anula cuando $k - 6 = 0$, o sea $k = 6$.

2. Miramos la segunda fila con ese valor. Los dos coeficientes se hacen cero y del lado derecho queda $-6$.

3. Leemos esa fila. Pide que cero sea igual a $-6$, que es falso: no hay ningún par que la cumpla.

4. Concluimos con Rouché. El rango de $A$ es $1$ y el de la ampliada es $2$: son distintos, así que el sistema es incompatible.

Respuesta: con $k = 6$ el sistema es incompatible, con rango $1$ y rango ampliado $2$

d)

1. Cambiamos los términos independientes por ceros. Con el $k = 6$ de c), la matriz del sistema es $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 6\end{bmatrix}$.

2. Notamos la diferencia con c). El homogéneo nunca es incompatible: el vector nulo siempre lo cumple. Lo que hay que ver es si hay otras soluciones.

3. Escalonamos. La segunda fila es $3$ veces la primera, así que se anula y queda una sola ecuación: $x + 2y = 0$.

4. Despejamos. $x = -2y$, así que hay infinitas soluciones.

Respuesta: hay infinitas soluciones: los múltiplos de $(-2; 1)$

1. Ordenamos los coeficientes. Cada fila de $A$ es una ecuación y cada columna una incógnita.

2. Escribimos las piezas. $A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & 5\end{bmatrix}$, $\vec{x} = \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$, $\vec{b} = \begin{bmatrix}3 \\ 8\end{bmatrix}$.

3. Chequeamos que el producto tenga sentido. $A$ es de $2 \times 2$ y $\vec{x}$ de $2 \times 1$: el producto da $2 \times 1$, igual que $\vec{b}$.

Respuesta: $A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & 5\end{bmatrix}$ y $\vec{b} = \begin{bmatrix}3 \\ 8\end{bmatrix}$

b)

1. Calculamos el determinante de la $A$ de a). $1 \cdot 5 - 2 \cdot 2 = 1$, distinto de cero, así que la inversa existe.

2. Aplicamos la fórmula del $2 \times 2$. Se intercambian los de la diagonal principal, se les cambia el signo a los otros dos, y se divide por el determinante.

3. Escribimos el resultado. $A^{-1} = \begin{bmatrix}5 & -2 \\ -2 & 1\end{bmatrix}$.

4. Verificamos. $A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$.

Respuesta: $A^{-1} = \begin{bmatrix}5 & -2 \\ -2 & 1\end{bmatrix}$

c)

1. Usamos la inversa de b). Multiplicamos $\begin{bmatrix}5 & -2 \\ -2 & 1\end{bmatrix}$ por $\begin{bmatrix}3 \\ 8\end{bmatrix}$.

2. Calculamos la primera componente. $5 \cdot 3 + (-2) \cdot 8 = -1$.

3. Calculamos la segunda. $(-2) \cdot 3 + 1 \cdot 8 = 2$.

Respuesta: $A^{-1}\vec{b} = (-1; 2)$

d)

1. Armamos la ampliada. Es $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 8\end{bmatrix}$.

2. Escalonamos. A la segunda fila le restamos $2$ veces la primera, y la ampliada reducida queda $\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$.

3. Leemos y comparamos. Da $x = -1$ e $y = 2$, que son las dos componentes de c).

4. Miramos qué mostró esto. Los dos caminos dan lo mismo, pero la inversa solo sirve cuando el determinante no se anula, y Gauss funciona siempre.

Respuesta: $x = -1$ e $y = 2$

1. Damos vuelta filas por columnas. $A^{T} = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$.

2. Comparamos con $A$. Una matriz es simétrica cuando coincide con su transpuesta.

3. Miramos las entradas cruzadas. $a_{12} = 0$ y $a_{21} = 1$, que son distintas, así que $A$ no es simétrica.

Respuesta: $A^{T} = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ y $A$ no es simétrica

b)

1. Multiplicamos $A$ por $A$. Ojo que no es $A \cdot A^{T}$: con la transpuesta de a) daría otra matriz, y esa sí sería simétrica.

2. Calculamos las entradas. $2 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 4$, $2 \cdot 0 + 0 \cdot 3 = 0$, $1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 5$ y $1 \cdot 0 + 3 \cdot 3 = 9$.

3. Armamos el resultado. $A^{2} = \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 5 & 9\end{bmatrix}$.

Respuesta: $A^{2} = \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 5 & 9\end{bmatrix}$

c)

1. Miramos la matriz de b). Es $\begin{bmatrix}4 & 0 \\ 5 & 9\end{bmatrix}$.

2. Escalonamos. La primera columna tiene un cero arriba a la derecha, y restando el múltiplo que corresponde de la primera fila, la segunda queda con pivote.

3. Contamos pivotes. Son $2$, así que el rango es $2$: máximo.

Respuesta: el rango de $A^{2}$ es $2$

d)

1. Usamos lo de c). El rango es máximo, así que $A^{2}$ es inversible y tiene sentido buscarle la inversa.

2. Armamos la aumentada con la identidad. $\begin{bmatrix}4 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 9 & 0 & 1\end{bmatrix}$.

3. Operamos por filas hasta la identidad. Dividiendo cada fila por su pivote y haciendo ceros, el bloque izquierdo llega a la identidad.

4. Leemos la derecha y verificamos. La inversa es $\begin{bmatrix}\dfrac{1}{4} & 0 \\ - \dfrac{5}{36} & \dfrac{1}{9}\end{bmatrix}$, y $A^{2} \cdot (A^{2})^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$.

Respuesta: $(A^{2})^{-1} = \begin{bmatrix}\dfrac{1}{4} & 0 \\ - \dfrac{5}{36} & \dfrac{1}{9}\end{bmatrix}$

1. Elegimos la primera fila. Desarrollamos por ahí porque las tres entradas son sencillas.

2. Calculamos los tres cofactores. $C_{11} = k^{2} - 1$, $C_{12} = 1 - k$ y $C_{13} = 1 - k$.

3. Armamos la suma y expandimos. $\det(A) = k^{3} - 3 k + 2$.

4. Factorizamos. Queda $\det(A) = \left(k - 1\right)^{2} \left(k + 2\right)$.

Respuesta: $\det(A) = \left(k - 1\right)^{2} \left(k + 2\right)$

b)

1. Igualamos a cero la factorización de a). $\left(k - 1\right)^{2} \left(k + 2\right) = 0$.

2. Usamos que un producto se anula cuando se anula un factor. Eso da $k = -2$ o $k = 1$.

3. Miramos qué significa. Para cualquier otro $k$ el determinante no es cero y el sistema tendría solución única.

Respuesta: $k = -2$ y $k = 1$

c)

1. Tomamos el mayor valor de b). Es $k = 1$.

2. Reemplazamos. La matriz queda $\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}$: las tres filas son iguales.

3. Escalonamos. Restando la primera a las otras dos, quedan dos filas nulas y una sola ecuación: $x + y + z = 0$.

4. Contamos los grados de libertad. El rango es $1$ y hay $3$ incógnitas, así que quedan $2$ parámetros libres.

5. Escribimos la solución. Las soluciones son las combinaciones de $(-1; 1; 0)$ y $(-1; 0; 1)$.

Respuesta: hay infinitas soluciones: las combinaciones de $(-1; 1; 0)$ y $(-1; 0; 1)$, con rango $1$ y $2$ parámetros libres

d)

1. Vemos qué es cada ecuación. Cada fila del sistema de c) es un plano que pasa por el origen.

2. Usamos que las tres filas son iguales. Las tres ecuaciones describen el MISMO plano $x + y + z = 0$, así que no hay tres planos distintos: hay uno solo repetido.

3. Lo cruzamos con c). El conjunto solución tiene dimensión $2$, que es justo la dimensión de un plano.

Respuesta: los tres son el mismo plano, con rango $1$, y la solución es ese plano

1. Contamos filas y columnas. Las dos matrices son de $2 \times 2$.

2. Ubicamos $a_{22}$. Fila $2$, columna $2$.

3. Lo leemos. Vale $4$.

Respuesta: $A$ es de $2 \times 2$ y $a_{22} = 4$

b)

1. Chequeamos que se pueda sumar. En a) vimos que $A$ es de $2 \times 2$, y $C$ también, así que la suma está definida.

2. Multiplicamos $A$ por $2$. $2A = \begin{bmatrix}2 & 4 \\ 6 & 8\end{bmatrix}$.

3. Sumamos $C$ elemento a elemento. $N = \begin{bmatrix}2 & 5 \\ 7 & 8\end{bmatrix}$.

Respuesta: $N = \begin{bmatrix}2 & 5 \\ 7 & 8\end{bmatrix}$

c)

1. Calculamos el determinante de la $N$ de b). $2 \cdot 8 - 5 \cdot 7 = -19$.

2. Escribimos la transpuesta. $N^{T} = \begin{bmatrix}2 & 7 \\ 5 & 8\end{bmatrix}$.

3. Calculamos su determinante. $2 \cdot 8 - 7 \cdot 5 = -19$.

4. Comparamos. Dan lo mismo, como dice la propiedad: transponer no cambia el determinante, porque desarrollar por filas o por columnas es la misma cuenta.

Respuesta: $\det(N) = -19$ y $\det(N^{T}) = -19$

d)

1. Chequeamos que se pueda usar Cramer. El determinante de c) dio $-19$, distinto de cero.

2. Armamos la matriz de la primera columna. Reemplazamos la columna de $x$ por el vector de términos independientes: $\begin{bmatrix}1 & 5 \\ 2 & 8\end{bmatrix}$.

3. Calculamos y dividimos. $x = \dfrac{-2}{-19} = \dfrac{2}{19}$.

4. Hacemos lo mismo para $y$. Reemplazando la segunda columna, $y = \dfrac{-3}{-19} = \dfrac{3}{19}$.

Respuesta: $x = \dfrac{2}{19}$ e $y = \dfrac{3}{19}$