Teorema de Rouché-Frobenius

Rouché-Frobenius clasifica un sistema comparando dos rangos: el de la matriz de coeficientes y el de la ampliada.

Si los dos rangos son distintos, el sistema es incompatible: no tiene solución. Eso pasa cuando al escalonar aparece una fila que dice que cero es igual a un número distinto de cero.

Si los rangos coinciden, el sistema es compatible. Y ahí hay dos casos según se compare ese rango con la cantidad de incógnitas.

Si el rango es igual a la cantidad de incógnitas, la solución es única. Si es menor, hay infinitas soluciones, y la diferencia entre la cantidad de incógnitas y el rango dice cuántos parámetros libres hay.

El teorema no resuelve el sistema: solo lo clasifica. Pero eso alcanza para muchos ejercicios, sobre todo los que traen un parámetro y piden discutir según su valor.

En esos casos se calcula el determinante en función del parámetro, se hallan los valores que lo anulan, y se analiza cada uno por separado.

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A|b) = n \to

solución única

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide clasificar un sistema sin resolverlo, o discutir según un parámetro. Escaloná la ampliada, contá los rangos y comparalos entre sí y con la cantidad de incógnitas.

Ejemplo 1

Clasificar el sistema cuya ampliada escalonada es $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ .

Miramos el rango de los coeficientes. La parte izquierda tiene una sola fila no nula, así que $\operatorname{rg}(A) = 1$ .
Miramos el de la ampliada. Con la última columna, la segunda fila no es nula: $\operatorname{rg}(A|b) = 2$ .
Aplicamos el teorema. Los rangos son distintos, así que el sistema es incompatible. La última fila dice $0 = 3$ , que es imposible.
Respuesta: incompatible

Ejemplo 2

Clasificar y resolver el sistema $x + 2y = 5$ , $2x + 4y = 10$ .

Escalonamos. Con $F_{2} - 2F_{1}$ la segunda fila se anula entera: $(0, 0, 0)$ .
Comparamos los rangos. Los dos valen $1$ , y son iguales, así que hay solución. Pero hay dos incógnitas y el rango es $1$ .
Escribimos las infinitas soluciones. Queda solo $x + 2y = 5$ . Tomando $y = t$ se obtiene $x = 5 - 2t$ , una solución por cada valor de $t$ .
Respuesta: compatible indeterminado

Error típico

Confundir una fila de ceros completa con una fila de ceros que tiene un número a la derecha de la raya. La primera sobra y da infinitas soluciones. La segunda es una contradicción y deja el sistema sin solución.

Practicar

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Otros subtemas de Matrices, determinantes y sistemas

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