Método

Ejercicios: Teorema de Rouché-Frobenius

rg⁡(A)=rg⁡(A∣b)=n→\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A|b) = n \to solución única

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Aplicá el teorema de Rouché-Frobenius al sistema con A=[−2−1211145−2]A = \begin{bmatrix}-2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & -2\end{bmatrix} y b=[−92−6]b = \begin{bmatrix}-9 \\ 2 \\ -6\end{bmatrix}.

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1. Recordamos el teorema. Compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada. Si son distintos el sistema es incompatible. Si son iguales, es compatible, y la comparación con la cantidad de incógnitas dice si la solución es única.

2. Calculamos el rango de la matriz de coeficientes. det⁡(A)=10≠0\det(A) = 10 \neq 0, así que el rango es 33.

3. Calculamos el rango de la ampliada. La ampliada tiene tres filas y ya vimos que hay tres independientes, así que su rango también es 33.

4. Comparamos con las incógnitas. Los dos rangos valen 33 y hay 33 incógnitas.

5. Concluimos. El sistema es compatible determinado: tiene una única solución.

Respuesta: es compatible determinado

2. Aplicá Rouché-Frobenius al sistema de matriz ampliada [−4−231−3−31−6−7−54−4]\begin{bmatrix}-4 & -2 & 3 & 1 \\ -3 & -3 & 1 & -6 \\ -7 & -5 & 4 & -4\end{bmatrix}.

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1. Miramos la matriz de coeficientes. La tercera fila es la suma de las dos primeras, así que su determinante es cero y el rango es 22.

2. Miramos la ampliada. En la columna de términos independientes esa misma relación no se cumple: 1−6=−51 - 6 = -5, pero el tercero es −4-4.

3. Calculamos el rango de la ampliada. Como la dependencia se rompe al agregar la columna, el rango de la ampliada es 33.

4. Comparamos. rg⁡(A)=2\operatorname{rg}(A) = 2 y rg⁡(A∣b)=3\operatorname{rg}(A|b) = 3: son distintos.

5. Concluimos. El sistema es incompatible.

Respuesta: es incompatible

3. Un sistema de 44 ecuaciones con 55 incógnitas tiene rg⁡(A)=rg⁡(A∣b)=3\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A|b) = 3. Clasificalo e indicá cuántos parámetros tiene la solución.

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1. Comparamos los dos rangos. Son iguales, así que el sistema es compatible: tiene al menos una solución.

2. Comparamos con la cantidad de incógnitas. El rango vale 33 y hay 55 incógnitas. Como el rango es menor, la solución no es única.

3. Contamos los grados de libertad. La cantidad de parámetros es la diferencia entre incógnitas y rango: 5−3=25 - 3 = 2.

4. Concluimos. El sistema es compatible indeterminado con 22 parámetros libres.

5. Observamos. Que haya más ecuaciones que las necesarias no es problema: lo que importa es cuántas aportan información nueva, y eso lo mide el rango.

Respuesta: es compatible indeterminado, con 22 parámetros libres

4. Un sistema de 33 ecuaciones con 33 incógnitas tiene rg⁡(A)=2\operatorname{rg}(A) = 2 y rg⁡(A∣b)=3\operatorname{rg}(A|b) = 3. Clasificalo.

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1. Comparamos los rangos entre sí. Valen 22 y 33: son distintos.

2. Aplicamos el teorema. Cuando el rango de la ampliada supera al de la matriz de coeficientes, el sistema no tiene solución.

3. Explicamos qué pasó. Agregar la columna de términos independientes rompió una dependencia que existía entre las filas de coeficientes. Esa fila se traduce en una ecuación imposible.

4. Concluimos. El sistema es incompatible.

5. Observamos. Los rangos nunca pueden diferir en más de uno, porque la ampliada tiene una sola columna más.

Respuesta: es incompatible

5. Aplicá el teorema de Rouché-Frobenius al sistema con A=[11−21−343−45]A = \begin{bmatrix}1 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 4 \\ 3 & -4 & 5\end{bmatrix} y b=[−9−3−1]b = \begin{bmatrix}-9 \\ -3 \\ -1\end{bmatrix}.

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1. Recordamos el teorema. Compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada. Si son distintos el sistema es incompatible. Si son iguales, es compatible, y la comparación con la cantidad de incógnitas dice si la solución es única.

2. Calculamos el rango de la matriz de coeficientes. det⁡(A)=−2≠0\det(A) = -2 \neq 0, así que el rango es 33.

3. Calculamos el rango de la ampliada. La ampliada tiene tres filas y ya vimos que hay tres independientes, así que su rango también es 33.

4. Comparamos con las incógnitas. Los dos rangos valen 33 y hay 33 incógnitas.

5. Concluimos. El sistema es compatible determinado: tiene una única solución.

Respuesta: es compatible determinado

6. Aplicá Rouché-Frobenius al sistema de matriz ampliada [24−2−2−4−1−5−9−23−7−9]\begin{bmatrix}2 & 4 & -2 & -2 \\ -4 & -1 & -5 & -9 \\ -2 & 3 & -7 & -9\end{bmatrix}.

Ver solución

1. Miramos la matriz de coeficientes. La tercera fila es la suma de las dos primeras, así que su determinante es cero y el rango es 22.

2. Miramos la ampliada. En la columna de términos independientes esa misma relación no se cumple: −2−9=−11-2 - 9 = -11, pero el tercero es −9-9.

3. Calculamos el rango de la ampliada. Como la dependencia se rompe al agregar la columna, el rango de la ampliada es 33.

4. Comparamos. rg⁡(A)=2\operatorname{rg}(A) = 2 y rg⁡(A∣b)=3\operatorname{rg}(A|b) = 3: son distintos.

5. Concluimos. El sistema es incompatible.

Respuesta: es incompatible

7. Un sistema de 55 ecuaciones con 77 incógnitas tiene rg⁡(A)=rg⁡(A∣b)=4\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A|b) = 4. Clasificalo e indicá cuántos parámetros tiene la solución.

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1. Comparamos los dos rangos. Son iguales, así que el sistema es compatible: tiene al menos una solución.

2. Comparamos con la cantidad de incógnitas. El rango vale 44 y hay 77 incógnitas. Como el rango es menor, la solución no es única.

3. Contamos los grados de libertad. La cantidad de parámetros es la diferencia entre incógnitas y rango: 7−4=37 - 4 = 3.

4. Concluimos. El sistema es compatible indeterminado con 33 parámetros libres.

5. Observamos. Que haya más ecuaciones que las necesarias no es problema: lo que importa es cuántas aportan información nueva, y eso lo mide el rango.

Respuesta: es compatible indeterminado, con 33 parámetros libres

8. Un sistema de 44 ecuaciones con 44 incógnitas tiene rg⁡(A)=3\operatorname{rg}(A) = 3 y rg⁡(A∣b)=4\operatorname{rg}(A|b) = 4. Clasificalo.

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1. Comparamos los rangos entre sí. Valen 33 y 44: son distintos.

2. Aplicamos el teorema. Cuando el rango de la ampliada supera al de la matriz de coeficientes, el sistema no tiene solución.

3. Explicamos qué pasó. Agregar la columna de términos independientes rompió una dependencia que existía entre las filas de coeficientes. Esa fila se traduce en una ecuación imposible.

4. Concluimos. El sistema es incompatible.

5. Observamos. Los rangos nunca pueden diferir en más de uno, porque la ampliada tiene una sola columna más.

Respuesta: es incompatible

9. Aplicá el teorema de Rouché-Frobenius al sistema con A=[−1313−2−5−113]A = \begin{bmatrix}-1 & 3 & 1 \\ 3 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 3\end{bmatrix} y b=[−1−19]b = \begin{bmatrix}-1 \\ -1 \\ 9\end{bmatrix}.

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1. Recordamos el teorema. Compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada. Si son distintos el sistema es incompatible. Si son iguales, es compatible, y la comparación con la cantidad de incógnitas dice si la solución es única.

2. Calculamos el rango de la matriz de coeficientes. det⁡(A)=−10≠0\det(A) = -10 \neq 0, así que el rango es 33.

3. Calculamos el rango de la ampliada. La ampliada tiene tres filas y ya vimos que hay tres independientes, así que su rango también es 33.

4. Comparamos con las incógnitas. Los dos rangos valen 33 y hay 33 incógnitas.

5. Concluimos. El sistema es compatible determinado: tiene una única solución.

Respuesta: es compatible determinado

10. Aplicá Rouché-Frobenius al sistema de matriz ampliada [−3−122−4−232−7−356]\begin{bmatrix}-3 & -1 & 2 & 2 \\ -4 & -2 & 3 & 2 \\ -7 & -3 & 5 & 6\end{bmatrix}.

Ver solución

1. Miramos la matriz de coeficientes. La tercera fila es la suma de las dos primeras, así que su determinante es cero y el rango es 22.

2. Miramos la ampliada. En la columna de términos independientes esa misma relación no se cumple: 2+2=42 + 2 = 4, pero el tercero es 66.

3. Calculamos el rango de la ampliada. Como la dependencia se rompe al agregar la columna, el rango de la ampliada es 33.

4. Comparamos. rg⁡(A)=2\operatorname{rg}(A) = 2 y rg⁡(A∣b)=3\operatorname{rg}(A|b) = 3: son distintos.

5. Concluimos. El sistema es incompatible.

Respuesta: es incompatible

11. Un sistema de 66 ecuaciones con 88 incógnitas tiene rg⁡(A)=rg⁡(A∣b)=5\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A|b) = 5. Clasificalo e indicá cuántos parámetros tiene la solución.

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1. Comparamos los dos rangos. Son iguales, así que el sistema es compatible: tiene al menos una solución.

2. Comparamos con la cantidad de incógnitas. El rango vale 55 y hay 88 incógnitas. Como el rango es menor, la solución no es única.

3. Contamos los grados de libertad. La cantidad de parámetros es la diferencia entre incógnitas y rango: 8−5=38 - 5 = 3.

4. Concluimos. El sistema es compatible indeterminado con 33 parámetros libres.

5. Observamos. Que haya más ecuaciones que las necesarias no es problema: lo que importa es cuántas aportan información nueva, y eso lo mide el rango.

Respuesta: es compatible indeterminado, con 33 parámetros libres

12. Un sistema de 33 ecuaciones con 33 incógnitas tiene rg⁡(A)=1\operatorname{rg}(A) = 1 y rg⁡(A∣b)=2\operatorname{rg}(A|b) = 2. Clasificalo.

Ver solución

1. Comparamos los rangos entre sí. Valen 11 y 22: son distintos.

2. Aplicamos el teorema. Cuando el rango de la ampliada supera al de la matriz de coeficientes, el sistema no tiene solución.

3. Explicamos qué pasó. Agregar la columna de términos independientes rompió una dependencia que existía entre las filas de coeficientes. Esa fila se traduce en una ecuación imposible.

4. Concluimos. El sistema es incompatible.

5. Observamos. Los rangos nunca pueden diferir en más de uno, porque la ampliada tiene una sola columna más.

Respuesta: es incompatible

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