Método

Ejercicios: Sistemas homogéneos

x=0x = 0 siempre es solución

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Resolvé el sistema homogéneo [2334−2−25−5−2]X=0\begin{bmatrix}2 & 3 & 3 \\ 4 & -2 & -2 \\ 5 & -5 & -2\end{bmatrix}X = 0.

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1. Recordamos qué los distingue. Un sistema es homogéneo cuando todos los términos independientes son cero. Siempre tiene al menos la solución trivial, con todas las incógnitas en cero.

2. Calculamos el determinante. det⁡(A)=−48\det(A) = -48, distinto de cero.

3. Aplicamos el criterio. Si el determinante no es cero, el sistema es compatible determinado y la única solución es la trivial.

4. Escribimos la solución. x=y=z=0x = y = z = 0.

5. Observamos. Un sistema homogéneo nunca puede ser incompatible: la solución trivial siempre está.

Respuesta: solo la solución trivial: x=y=z=0x = y = z = 0

2. Decidí si el sistema homogéneo [52111−263−1]X=0\begin{bmatrix}5 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 6 & 3 & -1\end{bmatrix}X = 0 tiene soluciones distintas de la trivial.

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1. Miramos la matriz. La tercera fila es la suma de las dos primeras, así que el determinante vale cero.

2. Aplicamos el criterio. En un homogéneo, determinante cero significa que hay infinitas soluciones además de la trivial.

3. Contamos los parámetros. El rango es 22 y hay 33 incógnitas, así que la solución depende de 3−2=13 - 2 = 1 parámetro.

4. Concluimos. El sistema tiene infinitas soluciones no triviales, que forman una recta que pasa por el origen.

5. Observamos. Las soluciones de un sistema homogéneo siempre forman un subespacio, y por eso el vector nulo nunca puede faltar.

Respuesta: sí, tiene infinitas soluciones no triviales, con un parámetro libre

3. Hallá los valores de kk para que el sistema homogéneo {kx+6y=05x+ky=0\begin{cases} kx + 6y = 0 \\ 5x + ky = 0 \end{cases} tenga soluciones no triviales.

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1. Planteamos la condición. Un homogéneo tiene soluciones no triviales exactamente cuando el determinante de la matriz de coeficientes vale cero.

2. Escribimos el determinante. det⁡=k⋅k−(6)(5)=k2−30\det = k \cdot k - (6)(5) = k^2 - 30

3. Igualamos a cero. k2=30k^2 = 30

4. Despejamos. k=±30k = \pm\sqrt{30}

5. Interpretamos. Para cualquier otro valor de kk el determinante no se anula y la única solución es la trivial.

Respuesta: k=±30k = \pm\sqrt{30}

4. Un sistema homogéneo de 33 ecuaciones con 44 incógnitas, ¿puede tener solo la solución trivial? Justificá.

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1. Acotamos el rango. El rango no puede superar la cantidad de filas, así que como mucho vale 33.

2. Comparamos con las incógnitas. Hay 44 incógnitas, así que el rango siempre va a ser menor que ese número.

3. Contamos los parámetros. La cantidad de parámetros libres es incógnitas menos rango, o sea al menos 4−3=14 - 3 = 1.

4. Concluimos. Siempre quedan al menos 11 parámetros libres, así que el sistema tiene infinitas soluciones. Nunca puede quedarse solo con la trivial.

5. Generalizamos. Todo sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene soluciones no triviales. Es un resultado que se usa mucho en ejercicios teóricos.

Respuesta: no puede: siempre tiene infinitas soluciones, con al menos 11 parámetros libres

5. Resolvé el sistema homogéneo [−14−3−15−2124]X=0\begin{bmatrix}-1 & 4 & -3 \\ -1 & 5 & -2 \\ 1 & 2 & 4\end{bmatrix}X = 0.

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1. Recordamos qué los distingue. Un sistema es homogéneo cuando todos los términos independientes son cero. Siempre tiene al menos la solución trivial, con todas las incógnitas en cero.

2. Calculamos el determinante. det⁡(A)=5\det(A) = 5, distinto de cero.

3. Aplicamos el criterio. Si el determinante no es cero, el sistema es compatible determinado y la única solución es la trivial.

4. Escribimos la solución. x=y=z=0x = y = z = 0.

5. Observamos. Un sistema homogéneo nunca puede ser incompatible: la solución trivial siempre está.

Respuesta: solo la solución trivial: x=y=z=0x = y = z = 0

6. Decidí si el sistema homogéneo [−51−24−35−1−23]X=0\begin{bmatrix}-5 & 1 & -2 \\ 4 & -3 & 5 \\ -1 & -2 & 3\end{bmatrix}X = 0 tiene soluciones distintas de la trivial.

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1. Miramos la matriz. La tercera fila es la suma de las dos primeras, así que el determinante vale cero.

2. Aplicamos el criterio. En un homogéneo, determinante cero significa que hay infinitas soluciones además de la trivial.

3. Contamos los parámetros. El rango es 22 y hay 33 incógnitas, así que la solución depende de 3−2=13 - 2 = 1 parámetro.

4. Concluimos. El sistema tiene infinitas soluciones no triviales, que forman una recta que pasa por el origen.

5. Observamos. Las soluciones de un sistema homogéneo siempre forman un subespacio, y por eso el vector nulo nunca puede faltar.

Respuesta: sí, tiene infinitas soluciones no triviales, con un parámetro libre

7. Hallá los valores de kk para que el sistema homogéneo {kx+4y=02x+ky=0\begin{cases} kx + 4y = 0 \\ 2x + ky = 0 \end{cases} tenga soluciones no triviales.

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1. Planteamos la condición. Un homogéneo tiene soluciones no triviales exactamente cuando el determinante de la matriz de coeficientes vale cero.

2. Escribimos el determinante. det⁡=k⋅k−(4)(2)=k2−8\det = k \cdot k - (4)(2) = k^2 - 8

3. Igualamos a cero. k2=8k^2 = 8

4. Despejamos. k=±8k = \pm\sqrt{8}

5. Interpretamos. Para cualquier otro valor de kk el determinante no se anula y la única solución es la trivial.

Respuesta: k=±8k = \pm\sqrt{8}

8. Un sistema homogéneo de 44 ecuaciones con 66 incógnitas, ¿puede tener solo la solución trivial? Justificá.

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1. Acotamos el rango. El rango no puede superar la cantidad de filas, así que como mucho vale 44.

2. Comparamos con las incógnitas. Hay 66 incógnitas, así que el rango siempre va a ser menor que ese número.

3. Contamos los parámetros. La cantidad de parámetros libres es incógnitas menos rango, o sea al menos 6−4=26 - 4 = 2.

4. Concluimos. Siempre quedan al menos 22 parámetros libres, así que el sistema tiene infinitas soluciones. Nunca puede quedarse solo con la trivial.

5. Generalizamos. Todo sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene soluciones no triviales. Es un resultado que se usa mucho en ejercicios teóricos.

Respuesta: no puede: siempre tiene infinitas soluciones, con al menos 22 parámetros libres

9. Resolvé el sistema homogéneo [451−2−4−35−42]X=0\begin{bmatrix}4 & 5 & 1 \\ -2 & -4 & -3 \\ 5 & -4 & 2\end{bmatrix}X = 0.

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1. Recordamos qué los distingue. Un sistema es homogéneo cuando todos los términos independientes son cero. Siempre tiene al menos la solución trivial, con todas las incógnitas en cero.

2. Calculamos el determinante. det⁡(A)=−107\det(A) = -107, distinto de cero.

3. Aplicamos el criterio. Si el determinante no es cero, el sistema es compatible determinado y la única solución es la trivial.

4. Escribimos la solución. x=y=z=0x = y = z = 0.

5. Observamos. Un sistema homogéneo nunca puede ser incompatible: la solución trivial siempre está.

Respuesta: solo la solución trivial: x=y=z=0x = y = z = 0

10. Decidí si el sistema homogéneo [−13−2−113−241]X=0\begin{bmatrix}-1 & 3 & -2 \\ -1 & 1 & 3 \\ -2 & 4 & 1\end{bmatrix}X = 0 tiene soluciones distintas de la trivial.

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1. Miramos la matriz. La tercera fila es la suma de las dos primeras, así que el determinante vale cero.

2. Aplicamos el criterio. En un homogéneo, determinante cero significa que hay infinitas soluciones además de la trivial.

3. Contamos los parámetros. El rango es 22 y hay 33 incógnitas, así que la solución depende de 3−2=13 - 2 = 1 parámetro.

4. Concluimos. El sistema tiene infinitas soluciones no triviales, que forman una recta que pasa por el origen.

5. Observamos. Las soluciones de un sistema homogéneo siempre forman un subespacio, y por eso el vector nulo nunca puede faltar.

Respuesta: sí, tiene infinitas soluciones no triviales, con un parámetro libre

11. Hallá los valores de kk para que el sistema homogéneo {kx+2y=05x+ky=0\begin{cases} kx + 2y = 0 \\ 5x + ky = 0 \end{cases} tenga soluciones no triviales.

Ver solución

1. Planteamos la condición. Un homogéneo tiene soluciones no triviales exactamente cuando el determinante de la matriz de coeficientes vale cero.

2. Escribimos el determinante. det⁡=k⋅k−(2)(5)=k2−10\det = k \cdot k - (2)(5) = k^2 - 10

3. Igualamos a cero. k2=10k^2 = 10

4. Despejamos. k=±10k = \pm\sqrt{10}

5. Interpretamos. Para cualquier otro valor de kk el determinante no se anula y la única solución es la trivial.

Respuesta: k=±10k = \pm\sqrt{10}

12. Un sistema homogéneo de 22 ecuaciones con 55 incógnitas, ¿puede tener solo la solución trivial? Justificá.

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1. Acotamos el rango. El rango no puede superar la cantidad de filas, así que como mucho vale 22.

2. Comparamos con las incógnitas. Hay 55 incógnitas, así que el rango siempre va a ser menor que ese número.

3. Contamos los parámetros. La cantidad de parámetros libres es incógnitas menos rango, o sea al menos 5−2=35 - 2 = 3.

4. Concluimos. Siempre quedan al menos 33 parámetros libres, así que el sistema tiene infinitas soluciones. Nunca puede quedarse solo con la trivial.

5. Generalizamos. Todo sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene soluciones no triviales. Es un resultado que se usa mucho en ejercicios teóricos.

Respuesta: no puede: siempre tiene infinitas soluciones, con al menos 33 parámetros libres

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