Sistemas homogéneos

Un sistema es homogéneo cuando todos los términos independientes son cero. Esa condición les da propiedades especiales.

Lo primero es que siempre son compatibles, porque poner todas las incógnitas en cero siempre funciona. Esa se llama solución trivial, y existe sin importar cómo sean los coeficientes.

Entonces la pregunta nunca es si hay solución, sino si hay alguna además de la trivial.

La respuesta depende del rango. Si el rango es igual a la cantidad de incógnitas, la trivial es la única. Si es menor, hay infinitas soluciones.

Para sistemas cuadrados hay un criterio corto: hay soluciones no triviales si y solo si el determinante es cero.

Un dato que ayuda: si hay más incógnitas que ecuaciones, un sistema homogéneo siempre tiene soluciones no triviales, porque el rango no puede llegar a la cantidad de incógnitas.

El conjunto de soluciones de un sistema homogéneo es un subespacio vectorial, y eso conecta este tema con el volumen siguiente.

x = 0

siempre es solución

Cuándo se usa

Cuando todos los términos independientes son cero. No preguntes si hay solución: siempre está la trivial. Preguntá si hay otras, y eso lo decide el determinante o el rango.

Ejemplo 1

Resolver el sistema homogéneo $x + 2y = 0$ , $2x + 4y = 0$ .

Escalonamos. Con $F_{2} - 2F_{1}$ la segunda fila se anula entera.
Comparamos rango e incógnitas. El rango es $1$ y hay dos incógnitas, así que además de la trivial hay infinitas soluciones.
Escribimos la solución paramétrica. Queda $x = -2y$ . Con $y = t$ la solución es $(-2t, t)$ . Con $t = 0$ se recupera la trivial.
Respuesta: $(-2t, t)$

Ejemplo 2

Decidir cuántas soluciones tiene $x + y = 0$ , $x - y = 0$ .

Miramos el determinante de los coeficientes. $1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = -2$ , distinto de cero.
Aplicamos el criterio. El rango es completo, igual a la cantidad de incógnitas, así que la trivial es la única solución.
Verificamos resolviendo. Sumando las dos ecuaciones queda $2x = 0$ , o sea $x = 0$ , y de ahí $y = 0$ .
Respuesta: solo la trivial $(0, 0)$

Error típico

Contestar que un sistema homogéneo es incompatible. Nunca lo es: la solución trivial siempre cumple todas las ecuaciones. Si al resolverlo aparece una contradicción, hubo un error de cuenta.

Practicar

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Otros subtemas de Matrices, determinantes y sistemas

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