Método

Matriz inversa

La inversa de una matriz es la que al multiplicarla da la identidad. Cumple el mismo papel que el inverso de un número, pero no todas las matrices tienen.

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. Cuando lo tiene, se dice que es inversible o no singular. Esa condición es el criterio que se usa siempre.

Cuando la inversa existe, es única, y sirve tanto multiplicando por izquierda como por derecha, aunque el producto de matrices en general no sea conmutativo.

Para matrices de dos por dos hay una fórmula corta: se intercambian los elementos de la diagonal principal, se les cambia el signo a los otros dos, y se divide todo por el determinante.

Para tamaños mayores están la matriz adjunta y el método de Gauss-Jordan, que suele ser más práctico.

La inversa de un producto invierte el orden de los factores, igual que la transpuesta. Ese detalle aparece en muchos ejercicios de despeje.

A⋅A−1=IA \cdot A^{-1} = I
Cuándo se usa

Cuando hay que despejar una matriz de una ecuación, o resolver un sistema con forma matricial. Verificá primero que el determinante no sea cero. Al invertir un producto, invertí el orden.

Ejemplo 1

Hallar la inversa de [3112]\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}.

Calculamos el determinante. 3⋅2−1⋅1=53 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 5. Como no es cero, la inversa existe.
Aplicamos la receta. Intercambiamos la diagonal y cambiamos el signo de la otra: [2−1−13]\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}, todo dividido por 55.
Verificamos con el producto. El elemento de arriba a la izquierda da (3⋅2+1⋅−1)/5=1(3 \cdot 2 + 1 \cdot -1) / 5 = 1, y el de arriba a la derecha (3⋅(−1)+1⋅3)/5=0(3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3) / 5 = 0. Es la identidad.
Respuesta: A−1=15[2−1−13]A^{-1} = \tfrac{1}{5}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

Ejemplo 2

Decidir si [2412]\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} tiene inversa.

Calculamos el determinante. 2⋅2−4⋅1=02 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 0.
Interpretamos ese cero. La matriz es singular: no tiene inversa. Aplicar la receta obligaría a dividir por cero.
Vemos por qué. La segunda fila es la mitad de la primera, así que las dos filas están sobre la misma recta. No hay forma de deshacer esa matriz.
Respuesta: no tiene inversa

Error típico

Calcular la inversa sin mirar el determinante. Si da cero, la receta pide dividir por cero y el resultado que salga no significa nada. El primer paso siempre es el determinante.

Practicar

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