Método

Regla de Cramer

La regla de Cramer resuelve sistemas usando determinantes, dando una fórmula directa para cada incógnita.

Cada incógnita se calcula como un cociente de dos determinantes. Abajo va el determinante de la matriz de coeficientes. Arriba va el mismo determinante pero con la columna de esa incógnita reemplazada por la de términos independientes.

Las condiciones son estrictas: el sistema tiene que tener tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante no puede ser cero. Si alguna falla, la regla no se aplica.

La ventaja es que permite calcular una sola incógnita sin resolver todo el sistema. Cuando el ejercicio pide solo el valor de una variable, es el camino más corto.

La desventaja es el costo. Para un sistema de tres por tres hay que calcular cuatro determinantes, y para uno de cuatro por cuatro el trabajo se vuelve enorme. Gauss escala mucho mejor.

En la práctica conviene para sistemas chicos o cuando se pide una sola incógnita. Para todo lo demás, Gauss.

xi=det⁡(Ai)/det⁡(A)x_{i} = \det(A_{i}) / \det(A)
Cuándo se usa

Cuando el sistema es cuadrado, el determinante no es cero, y el ejercicio pide una sola incógnita o el sistema es chico. Para sistemas grandes o no cuadrados, usá Gauss.

Ejemplo 1

Resolver por Cramer x+2y=5x + 2y = 5, 3x+y=53x + y = 5.

Calculamos el determinante del sistema. 1⋅1−2⋅3=−51 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = -5. No es cero, así que se puede usar.
Armamos y calculamos el de x. Reemplazamos la primera columna: [5251]\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}, que da 5⋅1−2⋅5=−55 \cdot 1 - 2 \cdot 5 = -5.
Armamos el de y y dividimos. [1535]\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}
da 1⋅5−5⋅3=−101 \cdot 5 - 5 \cdot 3 = -10. Entonces x=−5/−5=1x = -5 / -5 = 1 e y=−10/−5=2y = -10 / -5 = 2.
Respuesta: x=1x = 1, y=2y = 2

Ejemplo 2

Decidir si se puede resolver por Cramer 2x+4y=62x + 4y = 6, x+2y=3x + 2y = 3.

Calculamos el determinante. 2⋅2−4⋅1=02 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 0.
Concluimos sobre el método. Da cero, así que Cramer no se puede aplicar: habría que dividir por cero.
Vamos a Gauss para saber qué pasa. La primera ecuación es el doble de la segunda, así que al escalonar se anula una fila: el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.
Respuesta: no se puede usar Cramer

Error típico

Reemplazar la columna equivocada. Para la primera incógnita se cambia la primera columna, para la segunda la segunda. Y se cambia una sola por vez: la matriz de arriba se arma de nuevo cada vez, partiendo siempre de la original.

Practicar

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Otros subtemas de Matrices, determinantes y sistemas

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