Rango de una matriz

Hallar el rango de $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$.

Escalonamos. A la segunda fila le restamos dos veces la primera: $(2 - 2, 4 - 4) = (0, 0)$.
Contamos las filas no nulas. Queda $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, con una sola fila distinta de cero.
Concluimos. El rango es $1$. Como la matriz es cuadrada y el rango no es completo, su determinante tiene que dar cero, y efectivamente $1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0$.
Respuesta: $\operatorname{rg} = 1$

Hallar el rango de $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.

Escalonamos con dos operaciones. A la segunda le restamos dos veces la primera y a la tercera le restamos la primera.
Miramos el resultado. Queda $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \end{bmatrix}$: la segunda fila se anuló entera.
Contamos. Hay dos filas distintas de cero, así que el rango es $2$. La matriz tiene tres filas pero solo dos aportan.
Respuesta: $\operatorname{rg} = 2$