Método

Ejercicios: Rango de una matriz

rg⁡(A)=\operatorname{rg}(A) = filas no nulas al escalonar

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá el rango de A=[2555−535−5−4]A = \begin{bmatrix}2 & 5 & 5 \\ 5 & -5 & 3 \\ 5 & -5 & -4\end{bmatrix}.

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1. Recordamos qué mide. El rango es la cantidad de filas que aportan información nueva, o sea que no son combinación de las otras.

2. Usamos el determinante como atajo. Para una matriz cuadrada, si el determinante no da cero el rango es máximo. Acá det⁡(A)=245≠0\det(A) = 245 \neq 0.

3. Concluimos. El rango es 33, el máximo posible para una matriz de tres por tres.

4. Interpretamos. Rango máximo significa que las tres filas son linealmente independientes y que la matriz es inversible.

Respuesta: el rango es 33

2. Calculá el rango de A=[−1−254−413−66]A = \begin{bmatrix}-1 & -2 & 5 \\ 4 & -4 & 1 \\ 3 & -6 & 6\end{bmatrix}.

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1. Probamos primero con el determinante. det⁡(A)=0\det(A) = 0. Como da cero, el rango es menor que 33.

2. Buscamos la dependencia. La tercera fila es la suma de las dos primeras, así que no aporta información nueva.

3. Buscamos un menor de dos por dos no nulo. Tomando las dos primeras filas y las dos primeras columnas: det⁡[−1−24−4]=12\det\begin{bmatrix}-1 & -2 \\ 4 & -4\end{bmatrix} = 12.

4. Concluimos. Hay un menor de orden dos distinto de cero y el de orden tres da cero, así que el rango es 22.

Respuesta: el rango es 22

3. Calculá el rango de la matriz no cuadrada A=[−1−1−9944−4−46−323]A = \begin{bmatrix}-1 & -1 & -9 & 9 \\ 4 & 4 & -4 & -4 \\ 6 & -3 & 2 & 3\end{bmatrix}.

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1. Vemos qué cambia. Al no ser cuadrada no se puede usar el determinante de toda la matriz. Hay que buscar el mayor menor cuadrado no nulo.

2. Acotamos el rango. La matriz tiene 33 filas y 44 columnas, así que el rango no puede pasar de 33.

3. Buscamos un menor de ese orden. Tomando las primeras 33 columnas se obtiene un menor distinto de cero.

4. Concluimos. El rango es 33.

5. Observamos. El rango nunca supera al menor entre la cantidad de filas y la de columnas.

Respuesta: el rango es 33

4. Calculá el rango de A=[4221266−5−1−1]A = \begin{bmatrix}4 & 2 & 2 \\ 12 & 6 & 6 \\ -5 & -1 & -1\end{bmatrix} y decí cuántas filas son linealmente independientes.

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1. Miramos las filas. La segunda fila es el triple de la primera, así que no aporta nada nuevo.

2. Calculamos el determinante. det⁡(A)=0\det(A) = 0, que da cero por esa dependencia.

3. Buscamos un menor de orden dos no nulo. Combinando la primera fila con la tercera se obtiene un menor distinto de cero.

4. Concluimos. El rango es 22, así que hay 22 filas linealmente independientes.

5. Interpretamos. El rango cuenta exactamente cuántas filas aportan información propia, sin importar cuántas haya en total.

Respuesta: el rango es 22, o sea que hay 22 filas linealmente independientes

5. Calculá el rango de A=[1−43−5254−5−5]A = \begin{bmatrix}1 & -4 & 3 \\ -5 & 2 & 5 \\ 4 & -5 & -5\end{bmatrix}.

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1. Recordamos qué mide. El rango es la cantidad de filas que aportan información nueva, o sea que no son combinación de las otras.

2. Usamos el determinante como atajo. Para una matriz cuadrada, si el determinante no da cero el rango es máximo. Acá det⁡(A)=86≠0\det(A) = 86 \neq 0.

3. Concluimos. El rango es 33, el máximo posible para una matriz de tres por tres.

4. Interpretamos. Rango máximo significa que las tres filas son linealmente independientes y que la matriz es inversible.

Respuesta: el rango es 33

6. Calculá el rango de A=[−32431−503−1]A = \begin{bmatrix}-3 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & -5 \\ 0 & 3 & -1\end{bmatrix}.

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1. Probamos primero con el determinante. det⁡(A)=0\det(A) = 0. Como da cero, el rango es menor que 33.

2. Buscamos la dependencia. La tercera fila es la suma de las dos primeras, así que no aporta información nueva.

3. Buscamos un menor de dos por dos no nulo. Tomando las dos primeras filas y las dos primeras columnas: det⁡[−3231]=−9\det\begin{bmatrix}-3 & 2 \\ 3 & 1\end{bmatrix} = -9.

4. Concluimos. Hay un menor de orden dos distinto de cero y el de orden tres da cero, así que el rango es 22.

Respuesta: el rango es 22

7. Calculá el rango de la matriz no cuadrada A=[−591583−975212]A = \begin{bmatrix}-5 & 9 & 1 & 5 \\ 8 & 3 & -9 & 7 \\ 5 & 2 & 1 & 2\end{bmatrix}.

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1. Vemos qué cambia. Al no ser cuadrada no se puede usar el determinante de toda la matriz. Hay que buscar el mayor menor cuadrado no nulo.

2. Acotamos el rango. La matriz tiene 33 filas y 44 columnas, así que el rango no puede pasar de 33.

3. Buscamos un menor de ese orden. Tomando las primeras 33 columnas se obtiene un menor distinto de cero.

4. Concluimos. El rango es 33.

5. Observamos. El rango nunca supera al menor entre la cantidad de filas y la de columnas.

Respuesta: el rango es 33

8. Calculá el rango de A=[−1−51−3−153−5−1−4]A = \begin{bmatrix}-1 & -5 & 1 \\ -3 & -15 & 3 \\ -5 & -1 & -4\end{bmatrix} y decí cuántas filas son linealmente independientes.

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1. Miramos las filas. La segunda fila es el triple de la primera, así que no aporta nada nuevo.

2. Calculamos el determinante. det⁡(A)=0\det(A) = 0, que da cero por esa dependencia.

3. Buscamos un menor de orden dos no nulo. Combinando la primera fila con la tercera se obtiene un menor distinto de cero.

4. Concluimos. El rango es 22, así que hay 22 filas linealmente independientes.

5. Interpretamos. El rango cuenta exactamente cuántas filas aportan información propia, sin importar cuántas haya en total.

Respuesta: el rango es 22, o sea que hay 22 filas linealmente independientes

9. Calculá el rango de A=[−2−2421−4−3−54]A = \begin{bmatrix}-2 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & -4 \\ -3 & -5 & 4\end{bmatrix}.

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1. Recordamos qué mide. El rango es la cantidad de filas que aportan información nueva, o sea que no son combinación de las otras.

2. Usamos el determinante como atajo. Para una matriz cuadrada, si el determinante no da cero el rango es máximo. Acá det⁡(A)=−4≠0\det(A) = -4 \neq 0.

3. Concluimos. El rango es 33, el máximo posible para una matriz de tres por tres.

4. Interpretamos. Rango máximo significa que las tres filas son linealmente independientes y que la matriz es inversible.

Respuesta: el rango es 33

10. Calculá el rango de A=[33−3−243170]A = \begin{bmatrix}3 & 3 & -3 \\ -2 & 4 & 3 \\ 1 & 7 & 0\end{bmatrix}.

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1. Probamos primero con el determinante. det⁡(A)=0\det(A) = 0. Como da cero, el rango es menor que 33.

2. Buscamos la dependencia. La tercera fila es la suma de las dos primeras, así que no aporta información nueva.

3. Buscamos un menor de dos por dos no nulo. Tomando las dos primeras filas y las dos primeras columnas: det⁡[33−24]=18\det\begin{bmatrix}3 & 3 \\ -2 & 4\end{bmatrix} = 18.

4. Concluimos. Hay un menor de orden dos distinto de cero y el de orden tres da cero, así que el rango es 22.

Respuesta: el rango es 22

11. Calculá el rango de la matriz no cuadrada A=[−272−2−5−25−9−389−7]A = \begin{bmatrix}-2 & 7 & 2 & -2 \\ -5 & -2 & 5 & -9 \\ -3 & 8 & 9 & -7\end{bmatrix}.

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1. Vemos qué cambia. Al no ser cuadrada no se puede usar el determinante de toda la matriz. Hay que buscar el mayor menor cuadrado no nulo.

2. Acotamos el rango. La matriz tiene 33 filas y 44 columnas, así que el rango no puede pasar de 33.

3. Buscamos un menor de ese orden. Tomando las primeras 33 columnas se obtiene un menor distinto de cero.

4. Concluimos. El rango es 33.

5. Observamos. El rango nunca supera al menor entre la cantidad de filas y la de columnas.

Respuesta: el rango es 33

12. Calculá el rango de A=[5−1−215−3−64−35]A = \begin{bmatrix}5 & -1 & -2 \\ 15 & -3 & -6 \\ 4 & -3 & 5\end{bmatrix} y decí cuántas filas son linealmente independientes.

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1. Miramos las filas. La segunda fila es el triple de la primera, así que no aporta nada nuevo.

2. Calculamos el determinante. det⁡(A)=0\det(A) = 0, que da cero por esa dependencia.

3. Buscamos un menor de orden dos no nulo. Combinando la primera fila con la tercera se obtiene un menor distinto de cero.

4. Concluimos. El rango es 22, así que hay 22 filas linealmente independientes.

5. Interpretamos. El rango cuenta exactamente cuántas filas aportan información propia, sin importar cuántas haya en total.

Respuesta: el rango es 22, o sea que hay 22 filas linealmente independientes

Integradores de Matrices, determinantes y sistemas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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