Método

Ejercicios: Matriz inversa

A⋅A−1=IA \cdot A^{-1} = I

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá la inversa de A=[−2−515]A = \begin{bmatrix}-2 & -5 \\ 1 & 5\end{bmatrix}.

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1. Verificamos que exista. det⁡(A)=−5\det(A) = -5, distinto de cero, así que la inversa existe.

2. Recordamos la fórmula para dos por dos. Se intercambian los elementos de la diagonal principal, se les cambia el signo a los de la otra diagonal, y se divide todo por el determinante.

3. Armamos la matriz adjunta. [55−1−2]\begin{bmatrix}5 & 5 \\ -1 & -2\end{bmatrix}

4. Dividimos por el determinante. A−1=1−5[55−1−2]=[−1−11525]A^{-1} = \dfrac{1}{-5}\begin{bmatrix}5 & 5 \\ -1 & -2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 & -1 \\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}

5. Verificamos. A⋅A−1=[1001]A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, que es la identidad.

Respuesta: A−1=[−1−11525]A^{-1} = \begin{bmatrix}-1 & -1 \\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}

2. Decidí si A=[−2−2−4−4]A = \begin{bmatrix}-2 & -2 \\ -4 & -4\end{bmatrix} tiene inversa.

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1. Recordamos la condición. Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante es distinto de cero.

2. Calculamos el determinante. det⁡(A)=(−2)(−4)−(−2)(−4)=0\det(A) = (-2)(-4) - (-2)(-4) = 0

3. Concluimos. El determinante da cero, así que la matriz no tiene inversa. Se dice que es singular.

4. Explicamos por qué. La segunda fila es el doble de la primera, así que las dos filas apuntan en la misma dirección y no alcanzan para reconstruir el espacio.

5. Observamos. A diferencia de los números, donde todos menos el cero tienen inverso, muchas matrices no nulas no lo tienen.

Respuesta: no tiene inversa, porque su determinante vale 00

3. Con A=[41−6−4]A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ -6 & -4\end{bmatrix} y B=[−6333]B = \begin{bmatrix}-6 & 3 \\ 3 & 3\end{bmatrix}, decidí si A⋅BA \cdot B es inversible sin calcular el producto.

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1. Usamos la propiedad del determinante del producto. det⁡(A⋅B)=det⁡(A)⋅det⁡(B)\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B).

2. Calculamos los dos determinantes. det⁡(A)=−10\det(A) = -10 y det⁡(B)=−27\det(B) = -27

3. Multiplicamos. det⁡(A⋅B)=(−10)(−27)=270\det(A \cdot B) = (-10)(-27) = 270, distinto de cero.

4. Concluimos. El producto es inversible, y además (A⋅B)−1=B−1⋅A−1(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}, con el orden invertido.

5. Observamos. No hizo falta calcular el producto: alcanzó con los dos determinantes.

Respuesta: sí es inversible, porque det⁡(A⋅B)=270≠0\det(A \cdot B) = 270 \neq 0

4. Resolvé el sistema AX=bAX = b usando la inversa, con A=[−244−1]A = \begin{bmatrix}-2 & 4 \\ 4 & -1\end{bmatrix} y b=[5−7]b = \begin{bmatrix}5 \\ -7\end{bmatrix}.

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1. Planteamos la estrategia. Si AA es inversible, multiplicando a izquierda por A−1A^{-1} queda X=A−1bX = A^{-1}b.

2. Verificamos que exista la inversa. det⁡(A)=−14≠0\det(A) = -14 \neq 0.

3. Calculamos la inversa. A−1=[114272717]A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{14} & \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} & \frac{1}{7}\end{bmatrix}

4. Multiplicamos por bb. X=A−1b=[−231437]X = A^{-1}b = \begin{bmatrix}- \frac{23}{14} \\ \frac{3}{7}\end{bmatrix}

5. Controlamos el orden. Hay que multiplicar por izquierda, no por derecha: el producto de matrices no es conmutativo.

Respuesta: X=[−231437]X = \begin{bmatrix}- \frac{23}{14} \\ \frac{3}{7}\end{bmatrix}

5. Hallá la inversa de A=[351−3]A = \begin{bmatrix}3 & 5 \\ 1 & -3\end{bmatrix}.

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1. Verificamos que exista. det⁡(A)=−14\det(A) = -14, distinto de cero, así que la inversa existe.

2. Recordamos la fórmula para dos por dos. Se intercambian los elementos de la diagonal principal, se les cambia el signo a los de la otra diagonal, y se divide todo por el determinante.

3. Armamos la matriz adjunta. [−3−5−13]\begin{bmatrix}-3 & -5 \\ -1 & 3\end{bmatrix}

4. Dividimos por el determinante. A−1=1−14[−3−5−13]=[314514114−314]A^{-1} = \dfrac{1}{-14}\begin{bmatrix}-3 & -5 \\ -1 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{14} & \frac{5}{14} \\ \frac{1}{14} & - \frac{3}{14}\end{bmatrix}

5. Verificamos. A⋅A−1=[1001]A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, que es la identidad.

Respuesta: A−1=[314514114−314]A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{3}{14} & \frac{5}{14} \\ \frac{1}{14} & - \frac{3}{14}\end{bmatrix}

6. Decidí si A=[3−56−10]A = \begin{bmatrix}3 & -5 \\ 6 & -10\end{bmatrix} tiene inversa.

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1. Recordamos la condición. Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante es distinto de cero.

2. Calculamos el determinante. det⁡(A)=(3)(−10)−(−5)(6)=0\det(A) = (3)(-10) - (-5)(6) = 0

3. Concluimos. El determinante da cero, así que la matriz no tiene inversa. Se dice que es singular.

4. Explicamos por qué. La segunda fila es el doble de la primera, así que las dos filas apuntan en la misma dirección y no alcanzan para reconstruir el espacio.

5. Observamos. A diferencia de los números, donde todos menos el cero tienen inverso, muchas matrices no nulas no lo tienen.

Respuesta: no tiene inversa, porque su determinante vale 00

7. Con A=[3−34−5]A = \begin{bmatrix}3 & -3 \\ 4 & -5\end{bmatrix} y B=[2−654]B = \begin{bmatrix}2 & -6 \\ 5 & 4\end{bmatrix}, decidí si A⋅BA \cdot B es inversible sin calcular el producto.

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1. Usamos la propiedad del determinante del producto. det⁡(A⋅B)=det⁡(A)⋅det⁡(B)\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B).

2. Calculamos los dos determinantes. det⁡(A)=−3\det(A) = -3 y det⁡(B)=38\det(B) = 38

3. Multiplicamos. det⁡(A⋅B)=(−3)(38)=−114\det(A \cdot B) = (-3)(38) = -114, distinto de cero.

4. Concluimos. El producto es inversible, y además (A⋅B)−1=B−1⋅A−1(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}, con el orden invertido.

5. Observamos. No hizo falta calcular el producto: alcanzó con los dos determinantes.

Respuesta: sí es inversible, porque det⁡(A⋅B)=−114≠0\det(A \cdot B) = -114 \neq 0

8. Resolvé el sistema AX=bAX = b usando la inversa, con A=[2212]A = \begin{bmatrix}2 & 2 \\ 1 & 2\end{bmatrix} y b=[−99]b = \begin{bmatrix}-9 \\ 9\end{bmatrix}.

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1. Planteamos la estrategia. Si AA es inversible, multiplicando a izquierda por A−1A^{-1} queda X=A−1bX = A^{-1}b.

2. Verificamos que exista la inversa. det⁡(A)=2≠0\det(A) = 2 \neq 0.

3. Calculamos la inversa. A−1=[1−1−121]A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & -1 \\ - \frac{1}{2} & 1\end{bmatrix}

4. Multiplicamos por bb. X=A−1b=[−18272]X = A^{-1}b = \begin{bmatrix}-18 \\ \frac{27}{2}\end{bmatrix}

5. Controlamos el orden. Hay que multiplicar por izquierda, no por derecha: el producto de matrices no es conmutativo.

Respuesta: X=[−18272]X = \begin{bmatrix}-18 \\ \frac{27}{2}\end{bmatrix}

9. Hallá la inversa de A=[−53−3−2]A = \begin{bmatrix}-5 & 3 \\ -3 & -2\end{bmatrix}.

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1. Verificamos que exista. det⁡(A)=19\det(A) = 19, distinto de cero, así que la inversa existe.

2. Recordamos la fórmula para dos por dos. Se intercambian los elementos de la diagonal principal, se les cambia el signo a los de la otra diagonal, y se divide todo por el determinante.

3. Armamos la matriz adjunta. [−2−33−5]\begin{bmatrix}-2 & -3 \\ 3 & -5\end{bmatrix}

4. Dividimos por el determinante. A−1=119[−2−33−5]=[−219−319319−519]A^{-1} = \dfrac{1}{19}\begin{bmatrix}-2 & -3 \\ 3 & -5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}- \frac{2}{19} & - \frac{3}{19} \\ \frac{3}{19} & - \frac{5}{19}\end{bmatrix}

5. Verificamos. A⋅A−1=[1001]A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, que es la identidad.

Respuesta: A−1=[−219−319319−519]A^{-1} = \begin{bmatrix}- \frac{2}{19} & - \frac{3}{19} \\ \frac{3}{19} & - \frac{5}{19}\end{bmatrix}

10. Decidí si A=[−3−2−6−4]A = \begin{bmatrix}-3 & -2 \\ -6 & -4\end{bmatrix} tiene inversa.

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1. Recordamos la condición. Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante es distinto de cero.

2. Calculamos el determinante. det⁡(A)=(−3)(−4)−(−2)(−6)=0\det(A) = (-3)(-4) - (-2)(-6) = 0

3. Concluimos. El determinante da cero, así que la matriz no tiene inversa. Se dice que es singular.

4. Explicamos por qué. La segunda fila es el doble de la primera, así que las dos filas apuntan en la misma dirección y no alcanzan para reconstruir el espacio.

5. Observamos. A diferencia de los números, donde todos menos el cero tienen inverso, muchas matrices no nulas no lo tienen.

Respuesta: no tiene inversa, porque su determinante vale 00

11. Con A=[−6563]A = \begin{bmatrix}-6 & 5 \\ 6 & 3\end{bmatrix} y B=[−321−1]B = \begin{bmatrix}-3 & 2 \\ 1 & -1\end{bmatrix}, decidí si A⋅BA \cdot B es inversible sin calcular el producto.

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1. Usamos la propiedad del determinante del producto. det⁡(A⋅B)=det⁡(A)⋅det⁡(B)\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B).

2. Calculamos los dos determinantes. det⁡(A)=−48\det(A) = -48 y det⁡(B)=1\det(B) = 1

3. Multiplicamos. det⁡(A⋅B)=(−48)(1)=−48\det(A \cdot B) = (-48)(1) = -48, distinto de cero.

4. Concluimos. El producto es inversible, y además (A⋅B)−1=B−1⋅A−1(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}, con el orden invertido.

5. Observamos. No hizo falta calcular el producto: alcanzó con los dos determinantes.

Respuesta: sí es inversible, porque det⁡(A⋅B)=−48≠0\det(A \cdot B) = -48 \neq 0

12. Resolvé el sistema AX=bAX = b usando la inversa, con A=[6−2−4−3]A = \begin{bmatrix}6 & -2 \\ -4 & -3\end{bmatrix} y b=[99]b = \begin{bmatrix}9 \\ 9\end{bmatrix}.

Ver solución

1. Planteamos la estrategia. Si AA es inversible, multiplicando a izquierda por A−1A^{-1} queda X=A−1bX = A^{-1}b.

2. Verificamos que exista la inversa. det⁡(A)=−26≠0\det(A) = -26 \neq 0.

3. Calculamos la inversa. A−1=[326−113−213−313]A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{3}{26} & - \frac{1}{13} \\ - \frac{2}{13} & - \frac{3}{13}\end{bmatrix}

4. Multiplicamos por bb. X=A−1b=[926−4513]X = A^{-1}b = \begin{bmatrix}\frac{9}{26} \\ - \frac{45}{13}\end{bmatrix}

5. Controlamos el orden. Hay que multiplicar por izquierda, no por derecha: el producto de matrices no es conmutativo.

Respuesta: X=[926−4513]X = \begin{bmatrix}\frac{9}{26} \\ - \frac{45}{13}\end{bmatrix}

Integradores de Matrices, determinantes y sistemas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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