Método

Ejercicios: Propiedades del determinante

det⁡(A⋅B)=det⁡A⋅det⁡B\det(A \cdot B) = \det A \cdot \det B

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Verificá que det⁡(A⋅B)=det⁡(A)⋅det⁡(B)\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B) con A=[−4−4−53]A = \begin{bmatrix}-4 & -4 \\ -5 & 3\end{bmatrix} y B=[35−53]B = \begin{bmatrix}3 & 5 \\ -5 & 3\end{bmatrix}.

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1. Calculamos los determinantes por separado. det⁡(A)=−32\det(A) = -32 y det⁡(B)=34\det(B) = 34

2. Multiplicamos esos dos números. det⁡(A)⋅det⁡(B)=−1088\det(A) \cdot \det(B) = -1088

3. Calculamos el producto de las matrices. A⋅B=[8−32−30−16]A \cdot B = \begin{bmatrix}8 & -32 \\ -30 & -16\end{bmatrix}

4. Calculamos su determinante. det⁡(A⋅B)=−1088\det(A \cdot B) = -1088

5. Comparamos. Los dos dan lo mismo. Esta propiedad vale siempre, y es útil porque permite calcular el determinante de un producto sin hacer el producto.

Respuesta: los dos valen −1088-1088

2. Con A=[−25−2222−55−2]A = \begin{bmatrix}-2 & 5 & -2 \\ 2 & 2 & 2 \\ -5 & 5 & -2\end{bmatrix}, calculá el determinante de la matriz que resulta de intercambiar sus dos primeras filas.

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1. Calculamos el determinante original. det⁡(A)=−42\det(A) = -42

2. Escribimos la matriz con las filas intercambiadas. B=[222−25−2−55−2]B = \begin{bmatrix}2 & 2 & 2 \\ -2 & 5 & -2 \\ -5 & 5 & -2\end{bmatrix}

3. Calculamos su determinante. det⁡(B)=42\det(B) = 42

4. Comparamos. El resultado es el mismo número con el signo cambiado.

5. Concluimos. Intercambiar dos filas cambia el signo del determinante. Es útil al triangular una matriz: cada intercambio hay que compensarlo con un signo.

Respuesta: det⁡(B)=42=−det⁡(A)\det(B) = 42 = -\det(A)

3. Sabiendo que det⁡(A)=−90\det(A) = -90, calculá det⁡(AT)\det(A^T) y det⁡(A−1)\det(A^{-1}) sin hacer las matrices.

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1. Usamos la propiedad de la transpuesta. El determinante de la transpuesta es igual al de la original, porque transponer no cambia las relaciones entre filas y columnas.

2. Escribimos el primero. det⁡(AT)=−90\det(A^T) = -90

3. Usamos la propiedad de la inversa. Como A⋅A−1=IA \cdot A^{-1} = I y el determinante del producto es el producto de los determinantes, queda det⁡(A)⋅det⁡(A−1)=1\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = 1.

4. Despejamos. det⁡(A−1)=1−90\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{-90}

5. Observamos. Estas propiedades ahorran calcular la inversa entera cuando solo hace falta su determinante.

Respuesta: det⁡(AT)=−90\det(A^T) = -90 y det⁡(A−1)=1−90\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{-90}

4. Sin calcular todo el determinante, decidí si A=[−24−13−4−410−5]A = \begin{bmatrix}-2 & 4 & -1 \\ 3 & -4 & -4 \\ 1 & 0 & -5\end{bmatrix} es inversible.

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1. Miramos las filas antes de calcular. Antes de ponerse a hacer cuentas conviene mirar si alguna fila es combinación de las otras.

2. Encontramos la relación. La tercera fila es exactamente la suma de las dos primeras.

3. Aplicamos la propiedad. Si una fila es combinación lineal de las otras, el determinante vale cero.

4. Concluimos. Determinante cero significa que la matriz no es inversible.

5. Verificamos. Calculando de todas formas: det⁡(A)=0\det(A) = 0, como esperábamos.

Respuesta: no es inversible, porque su determinante vale 00

5. Verificá que det⁡(A⋅B)=det⁡(A)⋅det⁡(B)\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B) con A=[−42−1−4]A = \begin{bmatrix}-4 & 2 \\ -1 & -4\end{bmatrix} y B=[−465−6]B = \begin{bmatrix}-4 & 6 \\ 5 & -6\end{bmatrix}.

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1. Calculamos los determinantes por separado. det⁡(A)=18\det(A) = 18 y det⁡(B)=−6\det(B) = -6

2. Multiplicamos esos dos números. det⁡(A)⋅det⁡(B)=−108\det(A) \cdot \det(B) = -108

3. Calculamos el producto de las matrices. A⋅B=[26−36−1618]A \cdot B = \begin{bmatrix}26 & -36 \\ -16 & 18\end{bmatrix}

4. Calculamos su determinante. det⁡(A⋅B)=−108\det(A \cdot B) = -108

5. Comparamos. Los dos dan lo mismo. Esta propiedad vale siempre, y es útil porque permite calcular el determinante de un producto sin hacer el producto.

Respuesta: los dos valen −108-108

6. Con A=[−1−12−3−4−1−3−5−1]A = \begin{bmatrix}-1 & -1 & 2 \\ -3 & -4 & -1 \\ -3 & -5 & -1\end{bmatrix}, calculá el determinante de la matriz que resulta de intercambiar sus dos primeras filas.

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1. Calculamos el determinante original. det⁡(A)=7\det(A) = 7

2. Escribimos la matriz con las filas intercambiadas. B=[−3−4−1−1−12−3−5−1]B = \begin{bmatrix}-3 & -4 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \\ -3 & -5 & -1\end{bmatrix}

3. Calculamos su determinante. det⁡(B)=−7\det(B) = -7

4. Comparamos. El resultado es el mismo número con el signo cambiado.

5. Concluimos. Intercambiar dos filas cambia el signo del determinante. Es útil al triangular una matriz: cada intercambio hay que compensarlo con un signo.

Respuesta: det⁡(B)=−7=−det⁡(A)\det(B) = -7 = -\det(A)

7. Sabiendo que det⁡(A)=−78\det(A) = -78, calculá det⁡(AT)\det(A^T) y det⁡(A−1)\det(A^{-1}) sin hacer las matrices.

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1. Usamos la propiedad de la transpuesta. El determinante de la transpuesta es igual al de la original, porque transponer no cambia las relaciones entre filas y columnas.

2. Escribimos el primero. det⁡(AT)=−78\det(A^T) = -78

3. Usamos la propiedad de la inversa. Como A⋅A−1=IA \cdot A^{-1} = I y el determinante del producto es el producto de los determinantes, queda det⁡(A)⋅det⁡(A−1)=1\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = 1.

4. Despejamos. det⁡(A−1)=1−78\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{-78}

5. Observamos. Estas propiedades ahorran calcular la inversa entera cuando solo hace falta su determinante.

Respuesta: det⁡(AT)=−78\det(A^T) = -78 y det⁡(A−1)=1−78\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{-78}

8. Sin calcular todo el determinante, decidí si A=[−1−4−52−1−31−5−8]A = \begin{bmatrix}-1 & -4 & -5 \\ 2 & -1 & -3 \\ 1 & -5 & -8\end{bmatrix} es inversible.

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1. Miramos las filas antes de calcular. Antes de ponerse a hacer cuentas conviene mirar si alguna fila es combinación de las otras.

2. Encontramos la relación. La tercera fila es exactamente la suma de las dos primeras.

3. Aplicamos la propiedad. Si una fila es combinación lineal de las otras, el determinante vale cero.

4. Concluimos. Determinante cero significa que la matriz no es inversible.

5. Verificamos. Calculando de todas formas: det⁡(A)=0\det(A) = 0, como esperábamos.

Respuesta: no es inversible, porque su determinante vale 00

9. Verificá que det⁡(A⋅B)=det⁡(A)⋅det⁡(B)\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B) con A=[5−542]A = \begin{bmatrix}5 & -5 \\ 4 & 2\end{bmatrix} y B=[−5−241]B = \begin{bmatrix}-5 & -2 \\ 4 & 1\end{bmatrix}.

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1. Calculamos los determinantes por separado. det⁡(A)=30\det(A) = 30 y det⁡(B)=3\det(B) = 3

2. Multiplicamos esos dos números. det⁡(A)⋅det⁡(B)=90\det(A) \cdot \det(B) = 90

3. Calculamos el producto de las matrices. A⋅B=[−45−15−12−6]A \cdot B = \begin{bmatrix}-45 & -15 \\ -12 & -6\end{bmatrix}

4. Calculamos su determinante. det⁡(A⋅B)=90\det(A \cdot B) = 90

5. Comparamos. Los dos dan lo mismo. Esta propiedad vale siempre, y es útil porque permite calcular el determinante de un producto sin hacer el producto.

Respuesta: los dos valen 9090

10. Con A=[2−3422−3−43−3]A = \begin{bmatrix}2 & -3 & 4 \\ 2 & 2 & -3 \\ -4 & 3 & -3\end{bmatrix}, calculá el determinante de la matriz que resulta de intercambiar sus dos primeras filas.

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1. Calculamos el determinante original. det⁡(A)=8\det(A) = 8

2. Escribimos la matriz con las filas intercambiadas. B=[22−32−34−43−3]B = \begin{bmatrix}2 & 2 & -3 \\ 2 & -3 & 4 \\ -4 & 3 & -3\end{bmatrix}

3. Calculamos su determinante. det⁡(B)=−8\det(B) = -8

4. Comparamos. El resultado es el mismo número con el signo cambiado.

5. Concluimos. Intercambiar dos filas cambia el signo del determinante. Es útil al triangular una matriz: cada intercambio hay que compensarlo con un signo.

Respuesta: det⁡(B)=−8=−det⁡(A)\det(B) = -8 = -\det(A)

11. Sabiendo que det⁡(A)=7\det(A) = 7, calculá det⁡(AT)\det(A^T) y det⁡(A−1)\det(A^{-1}) sin hacer las matrices.

Ver solución

1. Usamos la propiedad de la transpuesta. El determinante de la transpuesta es igual al de la original, porque transponer no cambia las relaciones entre filas y columnas.

2. Escribimos el primero. det⁡(AT)=7\det(A^T) = 7

3. Usamos la propiedad de la inversa. Como A⋅A−1=IA \cdot A^{-1} = I y el determinante del producto es el producto de los determinantes, queda det⁡(A)⋅det⁡(A−1)=1\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = 1.

4. Despejamos. det⁡(A−1)=17\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{7}

5. Observamos. Estas propiedades ahorran calcular la inversa entera cuando solo hace falta su determinante.

Respuesta: det⁡(AT)=7\det(A^T) = 7 y det⁡(A−1)=17\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{7}

12. Sin calcular todo el determinante, decidí si A=[−52−245−5−17−7]A = \begin{bmatrix}-5 & 2 & -2 \\ 4 & 5 & -5 \\ -1 & 7 & -7\end{bmatrix} es inversible.

Ver solución

1. Miramos las filas antes de calcular. Antes de ponerse a hacer cuentas conviene mirar si alguna fila es combinación de las otras.

2. Encontramos la relación. La tercera fila es exactamente la suma de las dos primeras.

3. Aplicamos la propiedad. Si una fila es combinación lineal de las otras, el determinante vale cero.

4. Concluimos. Determinante cero significa que la matriz no es inversible.

5. Verificamos. Calculando de todas formas: det⁡(A)=0\det(A) = 0, como esperábamos.

Respuesta: no es inversible, porque su determinante vale 00

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