Método

Ejercicios: Desarrollo por cofactores

det⁡A=a11C11+a12C12+a13C13\det A = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá el menor complementario y el cofactor A13A_{13} de A=[31−3−1−11−1−3−5]A = \begin{bmatrix}3 & 1 & -3 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & -3 & -5\end{bmatrix}.

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1. Armamos el menor. El menor complementario se obtiene tachando la fila 11 y la columna 33, y calculando el determinante de lo que queda.

2. Escribimos la submatriz. [−1−1−1−3]\begin{bmatrix}-1 & -1 \\ -1 & -3\end{bmatrix}

3. Calculamos su determinante. M13=2M_{13} = 2

4. Aplicamos el signo. El cofactor es el menor con el signo (−1)1+3=1(-1)^{1+3} = 1, así que A13=2A_{13} = 2.

5. Controlamos. El signo alterna como un tablero de ajedrez, empezando en positivo arriba a la izquierda.

Respuesta: el menor es 22 y el cofactor es A13=2A_{13} = 2

2. Calculá el determinante de A=[211−355−3−4−2]A = \begin{bmatrix}2 & 1 & 1 \\ -3 & 5 & 5 \\ -3 & -4 & -2\end{bmatrix} desarrollando por la fila 22.

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1. Elegimos la fila. Desarrollamos por la fila 22. El determinante es la suma de cada elemento por su cofactor.

2. Calculamos los tres cofactores. Cada uno sale de tachar la fila y la columna del elemento, calcular el determinante de dos por dos que queda, y aplicarle el signo correspondiente.

3. Armamos la suma. (−3)⋅A21(-3) \cdot A_{21} + (5)⋅A22(5) \cdot A_{22} + (5)⋅A23(5) \cdot A_{23}

4. Resolvemos. det⁡(A)=26\det(A) = 26

5. Controlamos. El resultado no depende de qué fila o columna se elija. Conviene elegir la que tenga más ceros, porque esos términos se anulan y ahorran cuentas.

Respuesta: det⁡(A)=26\det(A) = 26

3. Calculá el determinante de A=[−31−340−1−405]A = \begin{bmatrix}-3 & 1 & -3 \\ 4 & 0 & -1 \\ -4 & 0 & 5\end{bmatrix} eligiendo el desarrollo más conveniente.

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1. Buscamos ceros. La columna 22 tiene dos ceros. Conviene desarrollar por ahí, porque esos dos términos se van a anular.

2. Planteamos el desarrollo. Solo sobrevive el término del elemento no nulo: det⁡(A)=(1)⋅A12\det(A) = (1) \cdot A_{12}.

3. Calculamos el cofactor. Tachando la fila 11 y la columna 22 y aplicando el signo (−1)1+2(-1)^{1+2}, el cofactor vale −16-16.

4. Multiplicamos. det⁡(A)=−16\det(A) = -16

5. Observamos. Elegir bien la fila o columna reduce el trabajo a un tercio. Con la fila equivocada habría que calcular tres cofactores en vez de uno.

Respuesta: det⁡(A)=−16\det(A) = -16

4. Calculá el determinante de la matriz de cuatro por cuatro A=[3−33103−1−10−1−1−10−4−1−2]A = \begin{bmatrix}3 & -3 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & -4 & -1 & -2\end{bmatrix}.

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1. Descartamos Sarrus. La regla de Sarrus solo vale para tres por tres. Para órdenes mayores hay que usar cofactores.

2. Buscamos la mejor fila o columna. La primera columna tiene tres ceros, así que desarrollando por ahí queda un solo término.

3. Reducimos a un determinante de tres por tres. det⁡(A)=(3)⋅det⁡[3−1−1−1−1−1−4−1−2]\det(A) = (3) \cdot \det\begin{bmatrix}3 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -4 & -1 & -2\end{bmatrix}

4. Calculamos ese determinante y multiplicamos. det⁡(A)=12\det(A) = 12

5. Observamos. El desarrollo por cofactores reduce el problema a determinantes más chicos, y se puede repetir hasta llegar a dos por dos.

Respuesta: det⁡(A)=12\det(A) = 12

5. Calculá el menor complementario y el cofactor A21A_{21} de A=[52−3255−1−54]A = \begin{bmatrix}5 & 2 & -3 \\ 2 & 5 & 5 \\ -1 & -5 & 4\end{bmatrix}.

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1. Armamos el menor. El menor complementario se obtiene tachando la fila 22 y la columna 11, y calculando el determinante de lo que queda.

2. Escribimos la submatriz. [2−3−54]\begin{bmatrix}2 & -3 \\ -5 & 4\end{bmatrix}

3. Calculamos su determinante. M21=−7M_{21} = -7

4. Aplicamos el signo. El cofactor es el menor con el signo (−1)2+1=−1(-1)^{2+1} = -1, así que A21=7A_{21} = 7.

5. Controlamos. El signo alterna como un tablero de ajedrez, empezando en positivo arriba a la izquierda.

Respuesta: el menor es −7-7 y el cofactor es A21=7A_{21} = 7

6. Calculá el determinante de A=[4113−3−524−4]A = \begin{bmatrix}4 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & -5 \\ 2 & 4 & -4\end{bmatrix} desarrollando por la fila 22.

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1. Elegimos la fila. Desarrollamos por la fila 22. El determinante es la suma de cada elemento por su cofactor.

2. Calculamos los tres cofactores. Cada uno sale de tachar la fila y la columna del elemento, calcular el determinante de dos por dos que queda, y aplicarle el signo correspondiente.

3. Armamos la suma. (3)⋅A21(3) \cdot A_{21} + (−3)⋅A22(-3) \cdot A_{22} + (−5)⋅A23(-5) \cdot A_{23}

4. Resolvemos. det⁡(A)=148\det(A) = 148

5. Controlamos. El resultado no depende de qué fila o columna se elija. Conviene elegir la que tenga más ceros, porque esos términos se anulan y ahorran cuentas.

Respuesta: det⁡(A)=148\det(A) = 148

7. Calculá el determinante de A=[−34−30−13024]A = \begin{bmatrix}-3 & 4 & -3 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 4\end{bmatrix} eligiendo el desarrollo más conveniente.

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1. Buscamos ceros. La columna 11 tiene dos ceros. Conviene desarrollar por ahí, porque esos dos términos se van a anular.

2. Planteamos el desarrollo. Solo sobrevive el término del elemento no nulo: det⁡(A)=(−3)⋅A11\det(A) = (-3) \cdot A_{11}.

3. Calculamos el cofactor. Tachando la fila 11 y la columna 11 y aplicando el signo (−1)1+1(-1)^{1+1}, el cofactor vale −10-10.

4. Multiplicamos. det⁡(A)=30\det(A) = 30

5. Observamos. Elegir bien la fila o columna reduce el trabajo a un tercio. Con la fila equivocada habría que calcular tres cofactores en vez de uno.

Respuesta: det⁡(A)=30\det(A) = 30

8. Calculá el determinante de la matriz de cuatro por cuatro A=[2−31−30−2140−3230−422]A = \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 & -3 \\ 0 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & -3 & 2 & 3 \\ 0 & -4 & 2 & 2\end{bmatrix}.

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1. Descartamos Sarrus. La regla de Sarrus solo vale para tres por tres. Para órdenes mayores hay que usar cofactores.

2. Buscamos la mejor fila o columna. La primera columna tiene tres ceros, así que desarrollando por ahí queda un solo término.

3. Reducimos a un determinante de tres por tres. det⁡(A)=(2)⋅det⁡[−214−323−422]\det(A) = (2) \cdot \det\begin{bmatrix}-2 & 1 & 4 \\ -3 & 2 & 3 \\ -4 & 2 & 2\end{bmatrix}

4. Calculamos ese determinante y multiplicamos. det⁡(A)=12\det(A) = 12

5. Observamos. El desarrollo por cofactores reduce el problema a determinantes más chicos, y se puede repetir hasta llegar a dos por dos.

Respuesta: det⁡(A)=12\det(A) = 12

9. Calculá el menor complementario y el cofactor A21A_{21} de A=[452−1−4−111−3]A = \begin{bmatrix}4 & 5 & 2 \\ -1 & -4 & -1 \\ 1 & 1 & -3\end{bmatrix}.

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1. Armamos el menor. El menor complementario se obtiene tachando la fila 22 y la columna 11, y calculando el determinante de lo que queda.

2. Escribimos la submatriz. [521−3]\begin{bmatrix}5 & 2 \\ 1 & -3\end{bmatrix}

3. Calculamos su determinante. M21=−17M_{21} = -17

4. Aplicamos el signo. El cofactor es el menor con el signo (−1)2+1=−1(-1)^{2+1} = -1, así que A21=17A_{21} = 17.

5. Controlamos. El signo alterna como un tablero de ajedrez, empezando en positivo arriba a la izquierda.

Respuesta: el menor es −17-17 y el cofactor es A21=17A_{21} = 17

10. Calculá el determinante de A=[−2131−3−3−14−4]A = \begin{bmatrix}-2 & 1 & 3 \\ 1 & -3 & -3 \\ -1 & 4 & -4\end{bmatrix} desarrollando por la fila 22.

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1. Elegimos la fila. Desarrollamos por la fila 22. El determinante es la suma de cada elemento por su cofactor.

2. Calculamos los tres cofactores. Cada uno sale de tachar la fila y la columna del elemento, calcular el determinante de dos por dos que queda, y aplicarle el signo correspondiente.

3. Armamos la suma. (1)⋅A21(1) \cdot A_{21} + (−3)⋅A22(-3) \cdot A_{22} + (−3)⋅A23(-3) \cdot A_{23}

4. Resolvemos. det⁡(A)=−38\det(A) = -38

5. Controlamos. El resultado no depende de qué fila o columna se elija. Conviene elegir la que tenga más ceros, porque esos términos se anulan y ahorran cuentas.

Respuesta: det⁡(A)=−38\det(A) = -38

11. Calculá el determinante de A=[−21−20−1−20−34]A = \begin{bmatrix}-2 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -3 & 4\end{bmatrix} eligiendo el desarrollo más conveniente.

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1. Buscamos ceros. La columna 11 tiene dos ceros. Conviene desarrollar por ahí, porque esos dos términos se van a anular.

2. Planteamos el desarrollo. Solo sobrevive el término del elemento no nulo: det⁡(A)=(−2)⋅A11\det(A) = (-2) \cdot A_{11}.

3. Calculamos el cofactor. Tachando la fila 11 y la columna 11 y aplicando el signo (−1)1+1(-1)^{1+1}, el cofactor vale −10-10.

4. Multiplicamos. det⁡(A)=20\det(A) = 20

5. Observamos. Elegir bien la fila o columna reduce el trabajo a un tercio. Con la fila equivocada habría que calcular tres cofactores en vez de uno.

Respuesta: det⁡(A)=20\det(A) = 20

12. Calculá el determinante de la matriz de cuatro por cuatro A=[13−22043−302220−344]A = \begin{bmatrix}1 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & 4 & 3 & -3 \\ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -3 & 4 & 4\end{bmatrix}.

Ver solución

1. Descartamos Sarrus. La regla de Sarrus solo vale para tres por tres. Para órdenes mayores hay que usar cofactores.

2. Buscamos la mejor fila o columna. La primera columna tiene tres ceros, así que desarrollando por ahí queda un solo término.

3. Reducimos a un determinante de tres por tres. det⁡(A)=(1)⋅det⁡[43−3222−344]\det(A) = (1) \cdot \det\begin{bmatrix}4 & 3 & -3 \\ 2 & 2 & 2 \\ -3 & 4 & 4\end{bmatrix}

4. Calculamos ese determinante y multiplicamos. det⁡(A)=−84\det(A) = -84

5. Observamos. El desarrollo por cofactores reduce el problema a determinantes más chicos, y se puede repetir hasta llegar a dos por dos.

Respuesta: det⁡(A)=−84\det(A) = -84

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