Método

Desarrollo por cofactores

El desarrollo por cofactores permite calcular determinantes de cualquier tamaño, reduciendo el problema a determinantes más chicos.

Se elige una fila o una columna, y por cada elemento se calcula el determinante de la matriz que queda al tachar su fila y su columna. Ese determinante chico se llama menor.

Cada menor se multiplica por su elemento y por un signo, que alterna como un tablero de ajedrez arrancando con positivo en la esquina superior izquierda. La suma de todos esos productos es el determinante.

El resultado no depende de qué fila o columna se elija, y eso permite elegir estratégicamente: la que tenga más ceros, porque cada cero anula todo su término.

Esa elección es lo que hace práctico el método. Sin ceros, un determinante de cuatro por cuatro requiere calcular cuatro de tres por tres, y el trabajo crece muy rápido.

Por eso conviene combinarlo con las propiedades: primero se hacen ceros con operaciones de fila y recién después se desarrolla.

det⁡A=a11C11+a12C12+a13C13\det A = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}
Cuándo se usa

Cuando el determinante es de cuatro por cuatro o más grande. Elegí la fila o columna con más ceros. Si no hay ninguna, hacé ceros primero con operaciones de fila.

Ejemplo 1

Calcular el determinante de [123014560]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix} desarrollando por la primera fila.

Calculamos los tres menores. Tapando cada elemento de la primera fila queda 1⋅0−4⋅6=−241 \cdot 0 - 4 \cdot 6 = -24, 0⋅0−4⋅5=−200 \cdot 0 - 4 \cdot 5 = -20 y 0⋅6−1⋅5=−50 \cdot 6 - 1 \cdot 5 = -5.
Les ponemos los signos del tablero. La primera fila lleva +−++ - +, así que los cofactores son −24-24, 2020 y −5-5.
Multiplicamos por los elementos y sumamos. 1⋅(−24)+2⋅20+3⋅(−5)=−24+40−15=11 \cdot (-24) + 2 \cdot 20 + 3 \cdot (-5) = -24 + 40 - 15 = 1, el mismo resultado que dio Sarrus.
Respuesta: det⁡=1\det = 1

Ejemplo 2

Calcular el determinante de [200134567]\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix} eligiendo bien la línea.

Miramos dónde hay ceros. La primera fila tiene dos, así que desarrollando por ahí quedan dos términos que se anulan sin calcular nada.
Calculamos el único menor que sobrevive. Tapando la fila 1y1 y la columna 11 queda 3⋅7−4⋅6=21−24=−33 \cdot 7 - 4 \cdot 6 = 21 - 24 = -3.
Cerramos la cuenta. Su signo es más, así que det⁡=2⋅(−3)=−6\det = 2 \cdot (-3) = -6. Por cualquier otra fila el resultado sería el mismo, pero con tres menores para calcular.
Respuesta: det⁡=−6\det = -6

Error típico

Olvidar el signo del cofactor. El menor es solo el determinante que sobra: recién con el signo del tablero se convierte en cofactor. Saltearse ese paso da resultados con el signo cambiado en la mitad de los términos.

Practicar

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