Inversa por Gauss-Jordan

Gauss-Jordan es el método práctico para calcular la inversa de una matriz de cualquier tamaño.

Se arma una matriz ampliada poniendo la matriz original a la izquierda y la identidad a la derecha. Después se aplican operaciones elementales de fila hasta que el lado izquierdo se convierta en la identidad.

Cuando eso pasa, lo que quedó a la derecha es la inversa. Las mismas operaciones que transformaron la matriz en la identidad transformaron la identidad en la inversa.

Si en el camino aparece una fila de ceros del lado izquierdo, la matriz no es inversible y el proceso se detiene ahí. Eso es coherente con que su determinante sea cero.

A diferencia de Gauss común, acá hay que hacer ceros arriba y abajo de cada pivote, y además dejar unos en la diagonal. Es más trabajo pero el resultado es directo.

El método siempre conviene sobre la fórmula de la adjunta para matrices de tres por tres o más grandes, porque la adjunta requiere calcular nueve determinantes.

[A | I] \to [I | A^{-1}]

Cuándo se usa

Cuando hay que calcular la inversa de una matriz de tres por tres o más grande. Poné la identidad al lado y operá hasta que el lado izquierdo sea la identidad.

Ejemplo 1

Hallar la inversa de $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ por Gauss-Jordan.

Escribimos la matriz con la identidad al lado. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
y hacemos $F_{2} - 3F_{1}$ .
Acomodamos la segunda fila. Queda $(0, -5, -3, 1)$ . Dividiendo por $-5$ pasa a $(0, 1, 3/5, -1/5)$ .
Terminamos con la primera fila. Con $F_{1} - 2F_{2}$ queda $(1, 0, -1/5, 2/5)$ . La inversa es $\begin{bmatrix} -1/5 & 2/5 \\ 3/5 & -1/5 \end{bmatrix}$ .
Respuesta: $A^{-1} =\begin{bmatrix} -1/5 & 2/5 \\ 3/5 & -1/5 \end{bmatrix}$

Ejemplo 2

Resolver $x + 2y = 5$ , $3x + y = 5$ usando la inversa.

Escribimos el sistema como producto. $A x = b$ con $b =\begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix}$ .
Multiplicamos por la inversa. $x = A^{-1} b$ , con la inversa que calculamos recién.
Hacemos el producto. La primera componente da $(-1/5) \cdot 5 + (2/5) \cdot 5 = -1 + 2 = 1$ y la segunda $(3/5) \cdot 5 + (-1/5) \cdot 5 = 3 - 1 = 2$ .
Respuesta: $x = 1$ , $y = 2$

Error típico

Operar de un solo lado de la raya. Las operaciones son sobre filas completas: si se ignora la mitad derecha, al final queda la identidad de los dos lados y no se obtuvo nada.

Practicar

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Otros subtemas de Matrices, determinantes y sistemas

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