Método

Ejercicios: Inversa por Gauss-Jordan

[A∣I]→[I∣A−1][A | I] \to [I | A^{-1}]

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá la inversa de A=[2616]A = \begin{bmatrix}2 & 6 \\ 1 & 6\end{bmatrix} por el método de Gauss-Jordan.

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1. Armamos la matriz ampliada. Se pone la matriz original junto a la identidad: ([2616]∣[1001])(\begin{bmatrix}2 & 6 \\ 1 & 6\end{bmatrix} | \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}).

2. Aplicamos operaciones de fila. La idea es transformar el bloque izquierdo en la identidad, aplicando exactamente las mismas operaciones a los dos lados.

3. Llegamos a la forma final. Cuando el bloque izquierdo queda como la identidad, el derecho es la inversa: A−1=[1−1−1613]A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & -1 \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{3}\end{bmatrix}.

4. Verificamos. A⋅A−1=[1001]A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

5. Observamos. Este método sirve para cualquier orden, a diferencia de la fórmula corta que solo vale para dos por dos.

Respuesta: A−1=[1−1−1613]A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & -1 \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{3}\end{bmatrix}

2. Hallá la inversa de A=[−3−342−55−54−1]A = \begin{bmatrix}-3 & -3 & 4 \\ 2 & -5 & 5 \\ -5 & 4 & -1\end{bmatrix} por Gauss-Jordan.

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1. Verificamos que exista. det⁡(A)=46≠0\det(A) = 46 \neq 0, así que la inversa existe.

2. Armamos la ampliada con la identidad. Se escribe la matriz junto a la identidad de tres por tres.

3. Escalonamos hacia abajo y hacia arriba. Primero se anulan los elementos por debajo de la diagonal y después los de arriba, hasta dejar solo unos en la diagonal.

4. Leemos el resultado. A−1=[−15461346546−121212−174627462146]A^{-1} = \begin{bmatrix}- \frac{15}{46} & \frac{13}{46} & \frac{5}{46} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{17}{46} & \frac{27}{46} & \frac{21}{46}\end{bmatrix}

5. Verificamos. Multiplicando AA por el resultado se obtiene la identidad.

Respuesta: A−1=[−15461346546−121212−174627462146]A^{-1} = \begin{bmatrix}- \frac{15}{46} & \frac{13}{46} & \frac{5}{46} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{17}{46} & \frac{27}{46} & \frac{21}{46}\end{bmatrix}

3. Intentá hallar la inversa de A=[−56−1518]A = \begin{bmatrix}-5 & 6 \\ -15 & 18\end{bmatrix} por Gauss-Jordan y explicá qué pasa.

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1. Armamos la ampliada. ([−56−1518]∣[1001])(\begin{bmatrix}-5 & 6 \\ -15 & 18\end{bmatrix} | \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix})

2. Aplicamos la primera operación. La segunda fila es el triple de la primera, así que al restarle tres veces la primera queda una fila de ceros en el bloque izquierdo.

3. Vemos el problema. Con una fila de ceros es imposible llegar a la identidad: ninguna operación de filas puede generar un uno donde quedó todo cero.

4. Concluimos. La matriz no tiene inversa. El método lo detecta solo, sin necesidad de calcular el determinante antes.

5. Observamos. Que aparezca una fila de ceros durante Gauss-Jordan es la señal de que la matriz es singular.

Respuesta: no tiene inversa: durante el proceso aparece una fila de ceros

4. Verificá que la matriz [5−3−32]\begin{bmatrix}5 & -3 \\ -3 & 2\end{bmatrix} es la inversa de A=[2335]A = \begin{bmatrix}2 & 3 \\ 3 & 5\end{bmatrix}.

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1. Planteamos qué hay que comprobar. Una matriz es la inversa de otra cuando el producto de las dos da la identidad, en cualquiera de los dos órdenes.

2. Calculamos el primer producto. A⋅B=[1001]A \cdot B = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

3. Calculamos el segundo. B⋅A=[1001]B \cdot A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

4. Concluimos. Los dos productos dan la identidad, así que efectivamente es la inversa.

5. Observamos. Para matrices cuadradas alcanza con verificar uno de los dos productos, pero comprobar los dos es un control extra que no cuesta nada.

Respuesta: sí es la inversa: los dos productos dan la identidad

5. Hallá la inversa de A=[−4−445]A = \begin{bmatrix}-4 & -4 \\ 4 & 5\end{bmatrix} por el método de Gauss-Jordan.

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1. Armamos la matriz ampliada. Se pone la matriz original junto a la identidad: ([−4−445]∣[1001])(\begin{bmatrix}-4 & -4 \\ 4 & 5\end{bmatrix} | \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}).

2. Aplicamos operaciones de fila. La idea es transformar el bloque izquierdo en la identidad, aplicando exactamente las mismas operaciones a los dos lados.

3. Llegamos a la forma final. Cuando el bloque izquierdo queda como la identidad, el derecho es la inversa: A−1=[−54−111]A^{-1} = \begin{bmatrix}- \frac{5}{4} & -1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}.

4. Verificamos. A⋅A−1=[1001]A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

5. Observamos. Este método sirve para cualquier orden, a diferencia de la fórmula corta que solo vale para dos por dos.

Respuesta: A−1=[−54−111]A^{-1} = \begin{bmatrix}- \frac{5}{4} & -1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}

6. Hallá la inversa de A=[3−15−2222−41]A = \begin{bmatrix}3 & -1 & 5 \\ -2 & 2 & 2 \\ 2 & -4 & 1\end{bmatrix} por Gauss-Jordan.

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1. Verificamos que exista. det⁡(A)=44≠0\det(A) = 44 \neq 0, así que la inversa existe.

2. Armamos la ampliada con la identidad. Se escribe la matriz junto a la identidad de tres por tres.

3. Escalonamos hacia abajo y hacia arriba. Primero se anulan los elementos por debajo de la diagonal y después los de arriba, hasta dejar solo unos en la diagonal.

4. Leemos el resultado. A−1=[522−1944−311322−744−411111522111]A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{5}{22} & - \frac{19}{44} & - \frac{3}{11} \\ \frac{3}{22} & - \frac{7}{44} & - \frac{4}{11} \\ \frac{1}{11} & \frac{5}{22} & \frac{1}{11}\end{bmatrix}

5. Verificamos. Multiplicando AA por el resultado se obtiene la identidad.

Respuesta: A−1=[522−1944−311322−744−411111522111]A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{5}{22} & - \frac{19}{44} & - \frac{3}{11} \\ \frac{3}{22} & - \frac{7}{44} & - \frac{4}{11} \\ \frac{1}{11} & \frac{5}{22} & \frac{1}{11}\end{bmatrix}

7. Intentá hallar la inversa de A=[2−56−15]A = \begin{bmatrix}2 & -5 \\ 6 & -15\end{bmatrix} por Gauss-Jordan y explicá qué pasa.

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1. Armamos la ampliada. ([2−56−15]∣[1001])(\begin{bmatrix}2 & -5 \\ 6 & -15\end{bmatrix} | \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix})

2. Aplicamos la primera operación. La segunda fila es el triple de la primera, así que al restarle tres veces la primera queda una fila de ceros en el bloque izquierdo.

3. Vemos el problema. Con una fila de ceros es imposible llegar a la identidad: ninguna operación de filas puede generar un uno donde quedó todo cero.

4. Concluimos. La matriz no tiene inversa. El método lo detecta solo, sin necesidad de calcular el determinante antes.

5. Observamos. Que aparezca una fila de ceros durante Gauss-Jordan es la señal de que la matriz es singular.

Respuesta: no tiene inversa: durante el proceso aparece una fila de ceros

8. Verificá que la matriz [131913−118]\begin{bmatrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{9} \\ \frac{1}{3} & - \frac{1}{18}\end{bmatrix} es la inversa de A=[126−6]A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 6 & -6\end{bmatrix}.

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1. Planteamos qué hay que comprobar. Una matriz es la inversa de otra cuando el producto de las dos da la identidad, en cualquiera de los dos órdenes.

2. Calculamos el primer producto. A⋅B=[1001]A \cdot B = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

3. Calculamos el segundo. B⋅A=[1001]B \cdot A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

4. Concluimos. Los dos productos dan la identidad, así que efectivamente es la inversa.

5. Observamos. Para matrices cuadradas alcanza con verificar uno de los dos productos, pero comprobar los dos es un control extra que no cuesta nada.

Respuesta: sí es la inversa: los dos productos dan la identidad

9. Hallá la inversa de A=[5−5−1−2]A = \begin{bmatrix}5 & -5 \\ -1 & -2\end{bmatrix} por el método de Gauss-Jordan.

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1. Armamos la matriz ampliada. Se pone la matriz original junto a la identidad: ([5−5−1−2]∣[1001])(\begin{bmatrix}5 & -5 \\ -1 & -2\end{bmatrix} | \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}).

2. Aplicamos operaciones de fila. La idea es transformar el bloque izquierdo en la identidad, aplicando exactamente las mismas operaciones a los dos lados.

3. Llegamos a la forma final. Cuando el bloque izquierdo queda como la identidad, el derecho es la inversa: A−1=[215−13−115−13]A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{2}{15} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{15} & - \frac{1}{3}\end{bmatrix}.

4. Verificamos. A⋅A−1=[1001]A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

5. Observamos. Este método sirve para cualquier orden, a diferencia de la fórmula corta que solo vale para dos por dos.

Respuesta: A−1=[215−13−115−13]A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{2}{15} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{15} & - \frac{1}{3}\end{bmatrix}

10. Hallá la inversa de A=[13244−2445]A = \begin{bmatrix}1 & 3 & 2 \\ 4 & 4 & -2 \\ 4 & 4 & 5\end{bmatrix} por Gauss-Jordan.

Ver solución

1. Verificamos que exista. det⁡(A)=−56≠0\det(A) = -56 \neq 0, así que la inversa existe.

2. Armamos la ampliada con la identidad. Se escribe la matriz junto a la identidad de tres por tres.

3. Escalonamos hacia abajo y hacia arriba. Primero se anulan los elementos por debajo de la diagonal y después los de arriba, hasta dejar solo unos en la diagonal.

4. Leemos el resultado. A−1=[−12181412356−5280−1717]A^{-1} = \begin{bmatrix}- \frac{1}{2} & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{56} & - \frac{5}{28} \\ 0 & - \frac{1}{7} & \frac{1}{7}\end{bmatrix}

5. Verificamos. Multiplicando AA por el resultado se obtiene la identidad.

Respuesta: A−1=[−12181412356−5280−1717]A^{-1} = \begin{bmatrix}- \frac{1}{2} & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{56} & - \frac{5}{28} \\ 0 & - \frac{1}{7} & \frac{1}{7}\end{bmatrix}

11. Intentá hallar la inversa de A=[41123]A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 12 & 3\end{bmatrix} por Gauss-Jordan y explicá qué pasa.

Ver solución

1. Armamos la ampliada. ([41123]∣[1001])(\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 12 & 3\end{bmatrix} | \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix})

2. Aplicamos la primera operación. La segunda fila es el triple de la primera, así que al restarle tres veces la primera queda una fila de ceros en el bloque izquierdo.

3. Vemos el problema. Con una fila de ceros es imposible llegar a la identidad: ninguna operación de filas puede generar un uno donde quedó todo cero.

4. Concluimos. La matriz no tiene inversa. El método lo detecta solo, sin necesidad de calcular el determinante antes.

5. Observamos. Que aparezca una fila de ceros durante Gauss-Jordan es la señal de que la matriz es singular.

Respuesta: no tiene inversa: durante el proceso aparece una fila de ceros

12. Verificá que la matriz [−1−1−54−1]\begin{bmatrix}-1 & -1 \\ - \frac{5}{4} & -1\end{bmatrix} es la inversa de A=[4−4−54]A = \begin{bmatrix}4 & -4 \\ -5 & 4\end{bmatrix}.

Ver solución

1. Planteamos qué hay que comprobar. Una matriz es la inversa de otra cuando el producto de las dos da la identidad, en cualquiera de los dos órdenes.

2. Calculamos el primer producto. A⋅B=[1001]A \cdot B = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

3. Calculamos el segundo. B⋅A=[1001]B \cdot A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

4. Concluimos. Los dos productos dan la identidad, así que efectivamente es la inversa.

5. Observamos. Para matrices cuadradas alcanza con verificar uno de los dos productos, pero comprobar los dos es un control extra que no cuesta nada.

Respuesta: sí es la inversa: los dos productos dan la identidad

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