Método

Ejercicios: Sistemas con parámetro

det⁡(A)=0→\det(A) = 0 \to los valores críticos

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Analizá según los valores de kk el sistema {kx+4y=14x+ky=2\begin{cases} kx + 4y = 1 \\ 4x + ky = 2 \end{cases}

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1. Calculamos el determinante en función del parámetro. det⁡(A)=k2−16\det(A) = k^2 - 16

2. Buscamos dónde se anula. k2=16k^2 = 16, o sea k=4k = 4 o k=−4k = -4.

3. Analizamos el caso general. Si k≠±4k \neq \pm4 el determinante no es cero, así que el sistema es compatible determinado.

4. Analizamos los casos críticos. Con k=4k = 4 las dos ecuaciones tienen los mismos coeficientes pero distintos términos independientes: incompatible. Con k=−4k = -4 pasa lo mismo con signos cambiados: también incompatible.

5. Concluimos. El sistema tiene solución única para todo kk distinto de 44 y −4-4, y es incompatible en esos dos valores.

Respuesta: compatible determinado si k≠±4k \neq \pm4, e incompatible si k=4k = 4 o k=−4k = -4

2. Hallá para qué valores de mm el sistema {2x+my=5mx+8y=10\begin{cases} 2x + my = 5 \\ mx + 8y = 10 \end{cases} es compatible determinado.

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1. Planteamos la condición. Un sistema cuadrado es compatible determinado exactamente cuando el determinante de la matriz de coeficientes no vale cero.

2. Calculamos el determinante. det⁡(A)=2⋅8−m⋅m=16−m2\det(A) = 2 \cdot 8 - m \cdot m = 16 - m^2

3. Buscamos dónde se anula. 16−m2=016 - m^2 = 0 cuando m=4m = 4 o m=−4m = -4.

4. Concluimos. Para cualquier mm distinto de 44 y de −4-4 el sistema tiene solución única.

5. Observamos. Los ejercicios con parámetro casi siempre se resuelven así: se plantea el determinante, se lo iguala a cero y esos valores son los casos que hay que estudiar aparte.

Respuesta: es compatible determinado para todo m≠4m \neq 4 y m≠−4m \neq -4

3. Analizá según aa el sistema {x+y+z=1x+ay+z=2x+y+az=3\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + ay + z = 2 \\ x + y + az = 3 \end{cases}

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1. Calculamos el determinante. Desarrollando queda det⁡(A)=(a−1)2\det(A) = (a-1)^2.

2. Buscamos dónde se anula. (a−1)2=0(a-1)^2 = 0 solo cuando a=1a = 1.

3. Analizamos el caso general. Si a≠1a \neq 1 el determinante no es cero y el sistema es compatible determinado.

4. Analizamos el caso crítico. Con a=1a = 1 las tres ecuaciones quedan con los mismos coeficientes pero términos independientes 11, 22 y 33. Eso es imposible.

5. Concluimos. Para a≠1a \neq 1 hay solución única, y para a=1a = 1 el sistema es incompatible.

Respuesta: compatible determinado si a≠1a \neq 1, e incompatible si a=1a = 1

4. Analizá según kk el sistema homogéneo {kx+y=04x+ky=0\begin{cases} kx + y = 0 \\ 4x + ky = 0 \end{cases}

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1. Recordamos qué es distinto en un homogéneo. Nunca es incompatible: la solución trivial siempre está. Lo único que hay que decidir es si hay otras.

2. Calculamos el determinante. det⁡(A)=k2−4\det(A) = k^2 - 4

3. Buscamos dónde se anula. k2=4k^2 = 4, o sea k=2k = 2 o k=−2k = -2.

4. Analizamos. Si k≠±2k \neq \pm 2 el determinante no es cero y la única solución es la trivial. En los dos valores críticos hay infinitas soluciones.

5. Concluimos. Solo con k=2k = 2 o k=−2k = -2 el sistema tiene soluciones distintas de la trivial.

Respuesta: solo la trivial si k≠±2k \neq \pm 2, e infinitas soluciones si k=2k = 2 o k=−2k = -2

5. Analizá según los valores de kk el sistema {kx+3y=13x+ky=2\begin{cases} kx + 3y = 1 \\ 3x + ky = 2 \end{cases}

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1. Calculamos el determinante en función del parámetro. det⁡(A)=k2−9\det(A) = k^2 - 9

2. Buscamos dónde se anula. k2=9k^2 = 9, o sea k=3k = 3 o k=−3k = -3.

3. Analizamos el caso general. Si k≠±3k \neq \pm3 el determinante no es cero, así que el sistema es compatible determinado.

4. Analizamos los casos críticos. Con k=3k = 3 las dos ecuaciones tienen los mismos coeficientes pero distintos términos independientes: incompatible. Con k=−3k = -3 pasa lo mismo con signos cambiados: también incompatible.

5. Concluimos. El sistema tiene solución única para todo kk distinto de 33 y −3-3, y es incompatible en esos dos valores.

Respuesta: compatible determinado si k≠±3k \neq \pm3, e incompatible si k=3k = 3 o k=−3k = -3

6. Hallá para qué valores de mm el sistema {2x+my=3mx+8y=6\begin{cases} 2x + my = 3 \\ mx + 8y = 6 \end{cases} es compatible determinado.

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1. Planteamos la condición. Un sistema cuadrado es compatible determinado exactamente cuando el determinante de la matriz de coeficientes no vale cero.

2. Calculamos el determinante. det⁡(A)=2⋅8−m⋅m=16−m2\det(A) = 2 \cdot 8 - m \cdot m = 16 - m^2

3. Buscamos dónde se anula. 16−m2=016 - m^2 = 0 cuando m=4m = 4 o m=−4m = -4.

4. Concluimos. Para cualquier mm distinto de 44 y de −4-4 el sistema tiene solución única.

5. Observamos. Los ejercicios con parámetro casi siempre se resuelven así: se plantea el determinante, se lo iguala a cero y esos valores son los casos que hay que estudiar aparte.

Respuesta: es compatible determinado para todo m≠4m \neq 4 y m≠−4m \neq -4

7. Analizá según aa el sistema {x+y+z=1x+ay+z=3x+y+az=4\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + ay + z = 3 \\ x + y + az = 4 \end{cases}

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1. Calculamos el determinante. Desarrollando queda det⁡(A)=(a−1)2\det(A) = (a-1)^2.

2. Buscamos dónde se anula. (a−1)2=0(a-1)^2 = 0 solo cuando a=1a = 1.

3. Analizamos el caso general. Si a≠1a \neq 1 el determinante no es cero y el sistema es compatible determinado.

4. Analizamos el caso crítico. Con a=1a = 1 las tres ecuaciones quedan con los mismos coeficientes pero términos independientes 11, 33 y 44. Eso es imposible.

5. Concluimos. Para a≠1a \neq 1 hay solución única, y para a=1a = 1 el sistema es incompatible.

Respuesta: compatible determinado si a≠1a \neq 1, e incompatible si a=1a = 1

8. Analizá según kk el sistema homogéneo {kx+y=09x+ky=0\begin{cases} kx + y = 0 \\ 9x + ky = 0 \end{cases}

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1. Recordamos qué es distinto en un homogéneo. Nunca es incompatible: la solución trivial siempre está. Lo único que hay que decidir es si hay otras.

2. Calculamos el determinante. det⁡(A)=k2−9\det(A) = k^2 - 9

3. Buscamos dónde se anula. k2=9k^2 = 9, o sea k=3k = 3 o k=−3k = -3.

4. Analizamos. Si k≠±3k \neq \pm 3 el determinante no es cero y la única solución es la trivial. En los dos valores críticos hay infinitas soluciones.

5. Concluimos. Solo con k=3k = 3 o k=−3k = -3 el sistema tiene soluciones distintas de la trivial.

Respuesta: solo la trivial si k≠±3k \neq \pm 3, e infinitas soluciones si k=3k = 3 o k=−3k = -3

9. Analizá según los valores de kk el sistema {kx+5y=15x+ky=2\begin{cases} kx + 5y = 1 \\ 5x + ky = 2 \end{cases}

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1. Calculamos el determinante en función del parámetro. det⁡(A)=k2−25\det(A) = k^2 - 25

2. Buscamos dónde se anula. k2=25k^2 = 25, o sea k=5k = 5 o k=−5k = -5.

3. Analizamos el caso general. Si k≠±5k \neq \pm5 el determinante no es cero, así que el sistema es compatible determinado.

4. Analizamos los casos críticos. Con k=5k = 5 las dos ecuaciones tienen los mismos coeficientes pero distintos términos independientes: incompatible. Con k=−5k = -5 pasa lo mismo con signos cambiados: también incompatible.

5. Concluimos. El sistema tiene solución única para todo kk distinto de 55 y −5-5, y es incompatible en esos dos valores.

Respuesta: compatible determinado si k≠±5k \neq \pm5, e incompatible si k=5k = 5 o k=−5k = -5

10. Hallá para qué valores de mm el sistema {2x+my=2mx+8y=4\begin{cases} 2x + my = 2 \\ mx + 8y = 4 \end{cases} es compatible determinado.

Ver solución

1. Planteamos la condición. Un sistema cuadrado es compatible determinado exactamente cuando el determinante de la matriz de coeficientes no vale cero.

2. Calculamos el determinante. det⁡(A)=2⋅8−m⋅m=16−m2\det(A) = 2 \cdot 8 - m \cdot m = 16 - m^2

3. Buscamos dónde se anula. 16−m2=016 - m^2 = 0 cuando m=4m = 4 o m=−4m = -4.

4. Concluimos. Para cualquier mm distinto de 44 y de −4-4 el sistema tiene solución única.

5. Observamos. Los ejercicios con parámetro casi siempre se resuelven así: se plantea el determinante, se lo iguala a cero y esos valores son los casos que hay que estudiar aparte.

Respuesta: es compatible determinado para todo m≠4m \neq 4 y m≠−4m \neq -4

11. Analizá según aa el sistema {x+y+z=1x+ay+z=4x+y+az=5\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + ay + z = 4 \\ x + y + az = 5 \end{cases}

Ver solución

1. Calculamos el determinante. Desarrollando queda det⁡(A)=(a−1)2\det(A) = (a-1)^2.

2. Buscamos dónde se anula. (a−1)2=0(a-1)^2 = 0 solo cuando a=1a = 1.

3. Analizamos el caso general. Si a≠1a \neq 1 el determinante no es cero y el sistema es compatible determinado.

4. Analizamos el caso crítico. Con a=1a = 1 las tres ecuaciones quedan con los mismos coeficientes pero términos independientes 11, 44 y 55. Eso es imposible.

5. Concluimos. Para a≠1a \neq 1 hay solución única, y para a=1a = 1 el sistema es incompatible.

Respuesta: compatible determinado si a≠1a \neq 1, e incompatible si a=1a = 1

12. Analizá según kk el sistema homogéneo {kx+4y=04x+ky=0\begin{cases} kx + 4y = 0 \\ 4x + ky = 0 \end{cases}

Ver solución

1. Recordamos qué es distinto en un homogéneo. Nunca es incompatible: la solución trivial siempre está. Lo único que hay que decidir es si hay otras.

2. Calculamos el determinante. det⁡(A)=k2−16\det(A) = k^2 - 16

3. Buscamos dónde se anula. k2=16k^2 = 16, o sea k=2k = 2 o k=−2k = -2.

4. Analizamos. Si k≠±2k \neq \pm 2 el determinante no es cero y la única solución es la trivial. En los dos valores críticos hay infinitas soluciones.

5. Concluimos. Solo con k=2k = 2 o k=−2k = -2 el sistema tiene soluciones distintas de la trivial.

Respuesta: solo la trivial si k≠±2k \neq \pm 2, e infinitas soluciones si k=2k = 2 o k=−2k = -2

Integradores de Matrices, determinantes y sistemas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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