Sistemas con parámetro

Son sistemas donde algún coeficiente es una letra, y el ejercicio pide analizar qué pasa según el valor que tome.

Son los ejercicios de parcial más frecuentes del volumen, porque obligan a usar todo lo anterior.

El procedimiento arranca calculando el determinante de la matriz de coeficientes en función del parámetro. Los valores que lo anulan son los casos críticos.

Para todos los demás valores el determinante no es cero, así que el sistema es compatible determinado y tiene solución única. Ese caso se despacha rápido.

Los casos críticos hay que analizarlos uno por uno. Se reemplaza el parámetro por ese valor concreto y se escalona el sistema resultante, que puede quedar compatible indeterminado o incompatible.

Al escalonar con un parámetro hay que tener mucho cuidado: nunca se puede dividir por una expresión que contenga al parámetro sin analizar antes el caso en que se anula. Ese es el error más común y hace perder los casos interesantes.

\det(A) = 0 \to

los valores críticos

Cuándo se usa

Cuando algún coeficiente es una letra y el ejercicio pide discutir. Calculá el determinante en función del parámetro, hallá los valores que lo anulan, y analizá cada uno por separado.

Ejemplo 1

Discutir según $k$ el sistema $kx + y = 1$ , $x + ky = 1$ .

Calculamos el determinante. $k \cdot k - 1 \cdot 1 = k^{2} - 1$ .
Buscamos los valores críticos. $k^{2} - 1 = 0$ da $k = 1$ y $k = -1$ . Para cualquier otro valor el sistema es compatible determinado.
Estudiamos los dos casos aparte. Con $k = 1$ las dos ecuaciones son $x + y = 1$ : compatible indeterminado. Con $k = -1$ quedan $-x + y = 1$ y $x - y = 1$ , que se contradicen: incompatible.
Respuesta: $k = 1$ indeterminado, $k = -1$ incompatible, el resto determinado

Ejemplo 2

Hallar para qué valores de $k$ la matriz $2 k$ $3 6$ no tiene inversa.

Sabemos qué hay que plantear. No tiene inversa cuando su determinante es cero.
Calculamos el determinante. $2 \cdot 6 - k \cdot 3 = 12 - 3k$ .
Igualamos a cero y despejamos. $12 - 3k = 0$ da $k = 4$ . Para cualquier otro valor de $k$ la matriz sí tiene inversa.
Respuesta: $k = 4$

Error típico

Contestar solo con los valores críticos. La discusión completa incluye qué pasa con todos los demás valores, que es donde el sistema tiene solución única. Sin esa frase, la respuesta está a medias.

Practicar

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Otros subtemas de Matrices, determinantes y sistemas

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