Transpuesta y matrices especiales

Transponer una matriz es intercambiar sus filas por sus columnas. Lo que estaba en la fila dos, columna tres, pasa a la fila tres, columna dos.

Si la matriz no era cuadrada, la transpuesta tiene las dimensiones invertidas. La diagonal principal queda fija: sus elementos no se mueven.

La transpuesta de una suma es la suma de las transpuestas. Pero la de un producto invierte el orden de los factores, y ese detalle se olvida seguido.

Con la transposición se definen varios tipos importantes. Una matriz es simétrica si es igual a su transpuesta, lo que significa que es un espejo respecto de la diagonal. Es antisimétrica si es igual a su transpuesta cambiada de signo, y en ese caso la diagonal tiene que ser toda de ceros.

Otras matrices con nombre son la diagonal, que tiene ceros fuera de la diagonal principal, y la identidad, que es diagonal con unos. La identidad hace de uno en el producto: multiplicar por ella no cambia nada.

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide transponer o verificar si una matriz es simétrica. Al transponer un producto, invertí el orden de los factores. La identidad aparece en todas las condiciones de matriz inversa.

Ejemplo 1

Hallar la transpuesta de $\begin{bmatrix} 7 & 0 & -2 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}$ .

Miramos la dimensión de partida. Es $2 \times 3$ , así que la transpuesta va a ser $3 \times 2$ .
La primera fila pasa a ser la primera columna. El $7$ , el $0$ y el $-2$ se acomodan en vertical.
La segunda fila pasa a ser la segunda columna. El $4$ , el $1$ y el $5$ .
Escribimos el resultado y controlamos un elemento. $\begin{bmatrix} 7 & 4 \\ 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}$ . El que estaba en la fila $2 y$ columna $3$ valía $5$ y ahora está en la fila $3 y$ columna $2$ .
Respuesta: $\begin{bmatrix} 7 & 4 \\ 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}$

Ejemplo 2

Decidir si $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$ es simétrica.

Sabemos qué hay que comprobar. Una matriz es simétrica cuando coincide con su transpuesta.
Controlamos que sea cuadrada. Es $2 \times 2$ . Si no fuera cuadrada, ya estaría descartado.
Transponemos. La primera fila $(2, 3)$ pasa a ser la primera columna, y queda $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$ .
Comparamos. Es la misma matriz, así que sí es simétrica: los elementos de afuera de la diagonal están espejados, $a_{12} = a_{21} = 3$ .
Respuesta: sí, es simétrica

Error típico

Confundir simétrica con diagonal. Toda matriz diagonal es simétrica, pero una simétrica puede tener números fuera de la diagonal: lo único que se pide es que estén espejados.

Practicar

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