Método

Ejercicios: Transpuesta y matrices especiales

(AT)ij=aji(A^{T})_{ij} = a_{ji}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá la transpuesta de A=[3−3−61]A = \begin{bmatrix}3 & -3 \\ -6 & 1\end{bmatrix}.

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1. Recordamos la operación. Transponer es intercambiar filas por columnas: lo que estaba en la fila ii, columna jj, pasa a la fila jj, columna ii.

2. Vemos cómo cambia el orden. AA es 2×22 \times 2, así que ATA^T va a ser 2×22 \times 2.

3. Escribimos cada fila de AA como columna. AT=[3−6−31]A^T = \begin{bmatrix}3 & -6 \\ -3 & 1\end{bmatrix}

4. Controlamos. Transponer dos veces devuelve la matriz original.

Respuesta: AT=[3−6−31]A^T = \begin{bmatrix}3 & -6 \\ -3 & 1\end{bmatrix}

2. Clasificá la matriz A=[8−2−29]A = \begin{bmatrix}8 & -2 \\ -2 & 9\end{bmatrix} según sea simétrica, antisimétrica o ninguna de las dos.

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1. Calculamos la transpuesta. AT=[8−2−29]A^T = \begin{bmatrix}8 & -2 \\ -2 & 9\end{bmatrix}

2. Comparamos con AA. La transpuesta coincide con la original.

3. Aplicamos las definiciones. Simétrica significa AT=AA^T = A. Antisimétrica significa AT=−AA^T = -A, lo que además obliga a que la diagonal sea toda cero.

4. Concluimos. Como AT=AA^T = A, la matriz es simétrica.

Respuesta: es simétrica

3. Clasificá la matriz A=[−88−3063005]A = \begin{bmatrix}-8 & 8 & -3 \\ 0 & 6 & 3 \\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix} y calculá su determinante aprovechando su forma.

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1. Miramos dónde están los ceros. Todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero. Eso la hace triangular superior.

2. Usamos la propiedad correspondiente. En una matriz triangular el determinante es simplemente el producto de los elementos de la diagonal.

3. Multiplicamos la diagonal. det⁡(A)=(−8)⋅(6)⋅(5)=−240\det(A) = (-8) \cdot (6) \cdot (5) = -240

4. Observamos. Reconocer la forma ahorra todo el desarrollo por cofactores, que para una matriz de tres por tres son seis productos.

Respuesta: es triangular superior y det⁡(A)=−240\det(A) = -240

4. Verificá que (A⋅B)T=BT⋅AT(A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T con A=[1−156]A = \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 5 & 6\end{bmatrix} y B=[25−2−5]B = \begin{bmatrix}2 & 5 \\ -2 & -5\end{bmatrix}.

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1. Calculamos el lado izquierdo. Primero el producto: A⋅B=[410−2−5]A \cdot B = \begin{bmatrix}4 & 10 \\ -2 & -5\end{bmatrix}. Después la transpuesta: (A⋅B)T=[4−210−5](A \cdot B)^T = \begin{bmatrix}4 & -2 \\ 10 & -5\end{bmatrix}.

2. Calculamos las transpuestas por separado. AT=[15−16]A^T = \begin{bmatrix}1 & 5 \\ -1 & 6\end{bmatrix} y BT=[2−25−5]B^T = \begin{bmatrix}2 & -2 \\ 5 & -5\end{bmatrix}

3. Multiplicamos en el orden invertido. BT⋅AT=[4−210−5]B^T \cdot A^T = \begin{bmatrix}4 & -2 \\ 10 & -5\end{bmatrix}

4. Comparamos. Los dos lados coinciden.

5. Observamos. El orden se invierte al transponer un producto. Escribir AT⋅BTA^T \cdot B^T daría otra cosa.

Respuesta: los dos lados dan [4−210−5]\begin{bmatrix}4 & -2 \\ 10 & -5\end{bmatrix}

5. Hallá la transpuesta de A=[7−28−4−8−7−8−7−9]A = \begin{bmatrix}7 & -2 & 8 \\ -4 & -8 & -7 \\ -8 & -7 & -9\end{bmatrix}.

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1. Recordamos la operación. Transponer es intercambiar filas por columnas: lo que estaba en la fila ii, columna jj, pasa a la fila jj, columna ii.

2. Vemos cómo cambia el orden. AA es 3×33 \times 3, así que ATA^T va a ser 3×33 \times 3.

3. Escribimos cada fila de AA como columna. AT=[7−4−8−2−8−78−7−9]A^T = \begin{bmatrix}7 & -4 & -8 \\ -2 & -8 & -7 \\ 8 & -7 & -9\end{bmatrix}

4. Controlamos. Transponer dos veces devuelve la matriz original.

Respuesta: AT=[7−4−8−2−8−78−7−9]A^T = \begin{bmatrix}7 & -4 & -8 \\ -2 & -8 & -7 \\ 8 & -7 & -9\end{bmatrix}

6. Clasificá la matriz A=[−122−3]A = \begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 2 & -3\end{bmatrix} según sea simétrica, antisimétrica o ninguna de las dos.

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1. Calculamos la transpuesta. AT=[−122−3]A^T = \begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 2 & -3\end{bmatrix}

2. Comparamos con AA. La transpuesta coincide con la original.

3. Aplicamos las definiciones. Simétrica significa AT=AA^T = A. Antisimétrica significa AT=−AA^T = -A, lo que además obliga a que la diagonal sea toda cero.

4. Concluimos. Como AT=AA^T = A, la matriz es simétrica.

Respuesta: es simétrica

7. Clasificá la matriz A=[−62−70−1500−8]A = \begin{bmatrix}-6 & 2 & -7 \\ 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & -8\end{bmatrix} y calculá su determinante aprovechando su forma.

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1. Miramos dónde están los ceros. Todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero. Eso la hace triangular superior.

2. Usamos la propiedad correspondiente. En una matriz triangular el determinante es simplemente el producto de los elementos de la diagonal.

3. Multiplicamos la diagonal. det⁡(A)=(−6)⋅(−1)⋅(−8)=−48\det(A) = (-6) \cdot (-1) \cdot (-8) = -48

4. Observamos. Reconocer la forma ahorra todo el desarrollo por cofactores, que para una matriz de tres por tres son seis productos.

Respuesta: es triangular superior y det⁡(A)=−48\det(A) = -48

8. Verificá que (A⋅B)T=BT⋅AT(A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T con A=[−1−5−53]A = \begin{bmatrix}-1 & -5 \\ -5 & 3\end{bmatrix} y B=[243−2]B = \begin{bmatrix}2 & 4 \\ 3 & -2\end{bmatrix}.

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1. Calculamos el lado izquierdo. Primero el producto: A⋅B=[−176−1−26]A \cdot B = \begin{bmatrix}-17 & 6 \\ -1 & -26\end{bmatrix}. Después la transpuesta: (A⋅B)T=[−17−16−26](A \cdot B)^T = \begin{bmatrix}-17 & -1 \\ 6 & -26\end{bmatrix}.

2. Calculamos las transpuestas por separado. AT=[−1−5−53]A^T = \begin{bmatrix}-1 & -5 \\ -5 & 3\end{bmatrix} y BT=[234−2]B^T = \begin{bmatrix}2 & 3 \\ 4 & -2\end{bmatrix}

3. Multiplicamos en el orden invertido. BT⋅AT=[−17−16−26]B^T \cdot A^T = \begin{bmatrix}-17 & -1 \\ 6 & -26\end{bmatrix}

4. Comparamos. Los dos lados coinciden.

5. Observamos. El orden se invierte al transponer un producto. Escribir AT⋅BTA^T \cdot B^T daría otra cosa.

Respuesta: los dos lados dan [−17−16−26]\begin{bmatrix}-17 & -1 \\ 6 & -26\end{bmatrix}

9. Hallá la transpuesta de A=[76−82]A = \begin{bmatrix}7 & 6 \\ -8 & 2\end{bmatrix}.

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1. Recordamos la operación. Transponer es intercambiar filas por columnas: lo que estaba en la fila ii, columna jj, pasa a la fila jj, columna ii.

2. Vemos cómo cambia el orden. AA es 2×22 \times 2, así que ATA^T va a ser 2×22 \times 2.

3. Escribimos cada fila de AA como columna. AT=[7−862]A^T = \begin{bmatrix}7 & -8 \\ 6 & 2\end{bmatrix}

4. Controlamos. Transponer dos veces devuelve la matriz original.

Respuesta: AT=[7−862]A^T = \begin{bmatrix}7 & -8 \\ 6 & 2\end{bmatrix}

10. Clasificá la matriz A=[−1114]A = \begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 1 & 4\end{bmatrix} según sea simétrica, antisimétrica o ninguna de las dos.

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1. Calculamos la transpuesta. AT=[−1114]A^T = \begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 1 & 4\end{bmatrix}

2. Comparamos con AA. La transpuesta coincide con la original.

3. Aplicamos las definiciones. Simétrica significa AT=AA^T = A. Antisimétrica significa AT=−AA^T = -A, lo que además obliga a que la diagonal sea toda cero.

4. Concluimos. Como AT=AA^T = A, la matriz es simétrica.

Respuesta: es simétrica

11. Clasificá la matriz A=[−4−550−69003]A = \begin{bmatrix}-4 & -5 & 5 \\ 0 & -6 & 9 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix} y calculá su determinante aprovechando su forma.

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1. Miramos dónde están los ceros. Todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero. Eso la hace triangular superior.

2. Usamos la propiedad correspondiente. En una matriz triangular el determinante es simplemente el producto de los elementos de la diagonal.

3. Multiplicamos la diagonal. det⁡(A)=(−4)⋅(−6)⋅(3)=72\det(A) = (-4) \cdot (-6) \cdot (3) = 72

4. Observamos. Reconocer la forma ahorra todo el desarrollo por cofactores, que para una matriz de tres por tres son seis productos.

Respuesta: es triangular superior y det⁡(A)=72\det(A) = 72

12. Verificá que (A⋅B)T=BT⋅AT(A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T con A=[41−4−4]A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ -4 & -4\end{bmatrix} y B=[5414]B = \begin{bmatrix}5 & 4 \\ 1 & 4\end{bmatrix}.

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1. Calculamos el lado izquierdo. Primero el producto: A⋅B=[2120−24−32]A \cdot B = \begin{bmatrix}21 & 20 \\ -24 & -32\end{bmatrix}. Después la transpuesta: (A⋅B)T=[21−2420−32](A \cdot B)^T = \begin{bmatrix}21 & -24 \\ 20 & -32\end{bmatrix}.

2. Calculamos las transpuestas por separado. AT=[4−41−4]A^T = \begin{bmatrix}4 & -4 \\ 1 & -4\end{bmatrix} y BT=[5144]B^T = \begin{bmatrix}5 & 1 \\ 4 & 4\end{bmatrix}

3. Multiplicamos en el orden invertido. BT⋅AT=[21−2420−32]B^T \cdot A^T = \begin{bmatrix}21 & -24 \\ 20 & -32\end{bmatrix}

4. Comparamos. Los dos lados coinciden.

5. Observamos. El orden se invierte al transponer un producto. Escribir AT⋅BTA^T \cdot B^T daría otra cosa.

Respuesta: los dos lados dan [21−2420−32]\begin{bmatrix}21 & -24 \\ 20 & -32\end{bmatrix}

Integradores de Matrices, determinantes y sistemas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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