Método

Ejercicios: Potencias de matrices

A2=A⋅A,A3=A⋅A⋅AA^{2} = A \cdot A, A^{3} = A \cdot A \cdot A

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá A2A^2 con A=[2−12−3]A = \begin{bmatrix}2 & -1 \\ 2 & -3\end{bmatrix}.

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1. Entendemos qué significa. Elevar al cuadrado es multiplicar la matriz por sí misma, no elevar cada elemento al cuadrado.

2. Verificamos que se pueda. Es cuadrada, así que el producto por sí misma está definido y el resultado tiene el mismo orden.

3. Hacemos el producto. A2=A⋅A=[21−27]A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ -2 & 7\end{bmatrix}

4. Controlamos. Elevar cada elemento al cuadrado daría [4149]\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 4 & 9\end{bmatrix}, que es otra cosa. Ese es el error típico.

Respuesta: A2=[21−27]A^2 = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ -2 & 7\end{bmatrix}

2. Calculá A3A^3 con A=[−2−2−2−3]A = \begin{bmatrix}-2 & -2 \\ -2 & -3\end{bmatrix}.

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1. Planteamos la estrategia. Conviene calcular primero el cuadrado y después multiplicar por la matriz otra vez, en vez de hacer todo de una.

2. Calculamos A2A^2. A2=[8101013]A^2 = \begin{bmatrix}8 & 10 \\ 10 & 13\end{bmatrix}

3. Multiplicamos por AA. A3=A2⋅A=[−36−46−46−59]A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix}-36 & -46 \\ -46 & -59\end{bmatrix}

4. Observamos. Como el producto de matrices no es conmutativo en general, en las potencias no importa el orden porque siempre es la misma matriz. Pero para potencias altas conviene diagonalizar.

Respuesta: A3=[−36−46−46−59]A^3 = \begin{bmatrix}-36 & -46 \\ -46 & -59\end{bmatrix}

3. Calculá D4D^{4} con D=[−4004]D = \begin{bmatrix}-4 & 0 \\ 0 & 4\end{bmatrix}.

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1. Reconocemos el tipo de matriz. Es diagonal: todos los elementos fuera de la diagonal son cero.

2. Vemos qué pasa al multiplicar. Al multiplicar dos matrices diagonales, el resultado es diagonal y cada elemento es el producto de los correspondientes.

3. Elevamos cada elemento de la diagonal. (−4)4=256(-4)^{4} = 256 y (4)4=256(4)^{4} = 256

4. Escribimos el resultado. D4=[25600256]D^{4} = \begin{bmatrix}256 & 0 \\ 0 & 256\end{bmatrix}

5. Observamos. Esta propiedad es la razón por la que conviene diagonalizar una matriz antes de elevarla a una potencia alta.

Respuesta: D4=[25600256]D^{4} = \begin{bmatrix}256 & 0 \\ 0 & 256\end{bmatrix}

4. Calculá N2N^2 y N3N^3 con N=[0200]N = \begin{bmatrix}0 & 2 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, y decí qué observás.

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1. Calculamos el cuadrado. N2=[0000]N^2 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, la matriz nula.

2. Calculamos el cubo. N3=N2⋅N=[0000]N^3 = N^2 \cdot N = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, también nula.

3. Interpretamos. Una matriz no nula cuyas potencias dan la matriz nula se llama nilpotente. Con los números eso no puede pasar: si un número no es cero, ninguna potencia suya da cero.

4. Concluimos. Es una de las diferencias importantes entre matrices y números, y aparece en ejercicios teóricos.

Respuesta: N2=N3=[0000]N^2 = N^3 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}: la matriz es nilpotente

5. Calculá A2A^2 con A=[2444]A = \begin{bmatrix}2 & 4 \\ 4 & 4\end{bmatrix}.

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1. Entendemos qué significa. Elevar al cuadrado es multiplicar la matriz por sí misma, no elevar cada elemento al cuadrado.

2. Verificamos que se pueda. Es cuadrada, así que el producto por sí misma está definido y el resultado tiene el mismo orden.

3. Hacemos el producto. A2=A⋅A=[20242432]A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix}20 & 24 \\ 24 & 32\end{bmatrix}

4. Controlamos. Elevar cada elemento al cuadrado daría [4161616]\begin{bmatrix}4 & 16 \\ 16 & 16\end{bmatrix}, que es otra cosa. Ese es el error típico.

Respuesta: A2=[20242432]A^2 = \begin{bmatrix}20 & 24 \\ 24 & 32\end{bmatrix}

6. Calculá A3A^3 con A=[2−2−1−3]A = \begin{bmatrix}2 & -2 \\ -1 & -3\end{bmatrix}.

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1. Planteamos la estrategia. Conviene calcular primero el cuadrado y después multiplicar por la matriz otra vez, en vez de hacer todo de una.

2. Calculamos A2A^2. A2=[62111]A^2 = \begin{bmatrix}6 & 2 \\ 1 & 11\end{bmatrix}

3. Multiplicamos por AA. A3=A2⋅A=[10−18−9−35]A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix}10 & -18 \\ -9 & -35\end{bmatrix}

4. Observamos. Como el producto de matrices no es conmutativo en general, en las potencias no importa el orden porque siempre es la misma matriz. Pero para potencias altas conviene diagonalizar.

Respuesta: A3=[10−18−9−35]A^3 = \begin{bmatrix}10 & -18 \\ -9 & -35\end{bmatrix}

7. Calculá D3D^{3} con D=[−2004]D = \begin{bmatrix}-2 & 0 \\ 0 & 4\end{bmatrix}.

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1. Reconocemos el tipo de matriz. Es diagonal: todos los elementos fuera de la diagonal son cero.

2. Vemos qué pasa al multiplicar. Al multiplicar dos matrices diagonales, el resultado es diagonal y cada elemento es el producto de los correspondientes.

3. Elevamos cada elemento de la diagonal. (−2)3=−8(-2)^{3} = -8 y (4)3=64(4)^{3} = 64

4. Escribimos el resultado. D3=[−80064]D^{3} = \begin{bmatrix}-8 & 0 \\ 0 & 64\end{bmatrix}

5. Observamos. Esta propiedad es la razón por la que conviene diagonalizar una matriz antes de elevarla a una potencia alta.

Respuesta: D3=[−80064]D^{3} = \begin{bmatrix}-8 & 0 \\ 0 & 64\end{bmatrix}

8. Calculá N2N^2 y N3N^3 con N=[0300]N = \begin{bmatrix}0 & 3 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, y decí qué observás.

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1. Calculamos el cuadrado. N2=[0000]N^2 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, la matriz nula.

2. Calculamos el cubo. N3=N2⋅N=[0000]N^3 = N^2 \cdot N = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, también nula.

3. Interpretamos. Una matriz no nula cuyas potencias dan la matriz nula se llama nilpotente. Con los números eso no puede pasar: si un número no es cero, ninguna potencia suya da cero.

4. Concluimos. Es una de las diferencias importantes entre matrices y números, y aparece en ejercicios teóricos.

Respuesta: N2=N3=[0000]N^2 = N^3 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}: la matriz es nilpotente

9. Calculá A2A^2 con A=[4−4−22]A = \begin{bmatrix}4 & -4 \\ -2 & 2\end{bmatrix}.

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1. Entendemos qué significa. Elevar al cuadrado es multiplicar la matriz por sí misma, no elevar cada elemento al cuadrado.

2. Verificamos que se pueda. Es cuadrada, así que el producto por sí misma está definido y el resultado tiene el mismo orden.

3. Hacemos el producto. A2=A⋅A=[24−24−1212]A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix}24 & -24 \\ -12 & 12\end{bmatrix}

4. Controlamos. Elevar cada elemento al cuadrado daría [161644]\begin{bmatrix}16 & 16 \\ 4 & 4\end{bmatrix}, que es otra cosa. Ese es el error típico.

Respuesta: A2=[24−24−1212]A^2 = \begin{bmatrix}24 & -24 \\ -12 & 12\end{bmatrix}

10. Calculá A3A^3 con A=[1−211]A = \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 1 & 1\end{bmatrix}.

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1. Planteamos la estrategia. Conviene calcular primero el cuadrado y después multiplicar por la matriz otra vez, en vez de hacer todo de una.

2. Calculamos A2A^2. A2=[−1−42−1]A^2 = \begin{bmatrix}-1 & -4 \\ 2 & -1\end{bmatrix}

3. Multiplicamos por AA. A3=A2⋅A=[−5−21−5]A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix}-5 & -2 \\ 1 & -5\end{bmatrix}

4. Observamos. Como el producto de matrices no es conmutativo en general, en las potencias no importa el orden porque siempre es la misma matriz. Pero para potencias altas conviene diagonalizar.

Respuesta: A3=[−5−21−5]A^3 = \begin{bmatrix}-5 & -2 \\ 1 & -5\end{bmatrix}

11. Calculá D5D^{5} con D=[−400−3]D = \begin{bmatrix}-4 & 0 \\ 0 & -3\end{bmatrix}.

Ver solución

1. Reconocemos el tipo de matriz. Es diagonal: todos los elementos fuera de la diagonal son cero.

2. Vemos qué pasa al multiplicar. Al multiplicar dos matrices diagonales, el resultado es diagonal y cada elemento es el producto de los correspondientes.

3. Elevamos cada elemento de la diagonal. (−4)5=−1024(-4)^{5} = -1024 y (−3)5=−243(-3)^{5} = -243

4. Escribimos el resultado. D5=[−102400−243]D^{5} = \begin{bmatrix}-1024 & 0 \\ 0 & -243\end{bmatrix}

5. Observamos. Esta propiedad es la razón por la que conviene diagonalizar una matriz antes de elevarla a una potencia alta.

Respuesta: D5=[−102400−243]D^{5} = \begin{bmatrix}-1024 & 0 \\ 0 & -243\end{bmatrix}

12. Calculá N2N^2 y N3N^3 con N=[0100]N = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, y decí qué observás.

Ver solución

1. Calculamos el cuadrado. N2=[0000]N^2 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, la matriz nula.

2. Calculamos el cubo. N3=N2⋅N=[0000]N^3 = N^2 \cdot N = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, también nula.

3. Interpretamos. Una matriz no nula cuyas potencias dan la matriz nula se llama nilpotente. Con los números eso no puede pasar: si un número no es cero, ninguna potencia suya da cero.

4. Concluimos. Es una de las diferencias importantes entre matrices y números, y aparece en ejercicios teóricos.

Respuesta: N2=N3=[0000]N^2 = N^3 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}: la matriz es nilpotente

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