Potencias de matrices

Elevar una matriz a una potencia es multiplicarla por sí misma esa cantidad de veces. Solo tiene sentido para matrices cuadradas, porque si no las dimensiones no encajan.

Por convención, cualquier matriz cuadrada elevada a cero da la identidad, igual que pasa con los números.

Calcular potencias altas multiplicando una y otra vez es impracticable. Lo que se hace en los ejercicios es buscar un patrón: calcular las primeras potencias y ver si hay alguna regularidad.

Hay casos que se repiten. Algunas matrices se vuelven la identidad al elevarlas a cierta potencia, y a partir de ahí el ciclo se repite. Otras se anulan a partir de cierto exponente, y se llaman nilpotentes. Otras quedan iguales a sí mismas siempre, y se llaman idempotentes.

El método general y más potente aparece después: si la matriz se puede diagonalizar, las potencias se calculan elevando solo los elementos de la diagonal, que es muchísimo más fácil.

A^{2} = A \cdot A, A^{3} = A \cdot A \cdot A

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide una potencia alta. Calculá las primeras dos o tres y buscá el patrón: puede repetirse cíclicamente o anularse. Más adelante, si la matriz es diagonalizable, hay un método directo.

Ejemplo 1

Con $A =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ , calcular $A^{2}$ y $A^{3}$ .

Planteamos el producto. $A^{2} = A \cdot A$ , con el producto fila por columna.
Calculamos los cuatro elementos. $1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1$ , $1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 2$ , $0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0$ y $0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1$ .
Escribimos $A^{2}$ . $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ .
Para $A^{3}$ multiplicamos $A^{2}$ por A. El elemento de la fila $1 y$ columna $2$ da $1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 3$ y los otros no cambian: $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ . La potencia $n$ tiene una $n$ ahí.
Respuesta: $A^{2} =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

y $A^{3} =\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Ejemplo 2

Calcular $B^{2}$ con $B =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ .

Planteamos el producto. $B^{2} = B \cdot B$ .
Fila $1$ por columna $1$ . $0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0$ .
Fila $1$ por columna $2$ . $0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0$ .
Fila $2$ por las dos columnas y resultado. Los dos dan $0$ , porque la segunda fila de $B$ es toda de ceros. Queda $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ : una matriz que no era la nula dio la nula al elevarla al cuadrado.
Respuesta: $B^{2}$ es la matriz nula

Error típico

Elevar cada elemento al cuadrado. Es el error más frecuente del subtema y da resultados que parecen razonables. La potencia se calcula con el producto de matrices, fila por columna.

Practicar

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