Propiedades del determinante

Las propiedades del determinante ahorran muchísimo trabajo y a veces evitan calcularlo por completo.

La más útil es que si una fila es combinación lineal de otras, el determinante vale cero. En particular, si hay dos filas iguales o proporcionales, o una fila de ceros, el determinante es cero sin hacer ninguna cuenta.

Las operaciones elementales lo afectan de forma distinta. Sumarle a una fila un múltiplo de otra no lo cambia, y esa es la que se usa para hacer ceros. Intercambiar dos filas le cambia el signo. Multiplicar una fila por un número multiplica el determinante por ese número.

Esa última tiene una consecuencia que se equivoca seguido: al sacar factor común de toda una matriz de tamaño tres, el factor sale elevado al cubo, porque salió de cada una de las tres filas.

El determinante de un producto es el producto de los determinantes, lo que es muy cómodo. En cambio, el de una suma no tiene ninguna relación simple con los determinantes de los sumandos.

Todo lo que vale para filas vale igual para columnas, porque transponer no cambia el determinante.

\det(A \cdot B) = \det A \cdot \det B

Cuándo se usa

Antes de calcular cualquier determinante grande, mirá si alguna propiedad lo resuelve de una. Si hay filas proporcionales o una fila de ceros, ya vale cero. Si no, usá operaciones de fila para generar ceros.

Ejemplo 1

Calcular el determinante de $\begin{bmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ .

Reconocemos la forma. Todo lo que está debajo de la diagonal es cero: la matriz es triangular.
Aplicamos la propiedad. El determinante es el producto de la diagonal: $2 \cdot 3 \cdot 4$ .
Resolvemos. $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ . Por Sarrus daría lo mismo, pero con seis productos en lugar de uno.
Respuesta: $\det = 24$

Ejemplo 2

Decidir sin calcular si $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 4 \\ 5 & 0 & 7 \end{bmatrix}$ tiene determinante cero.

Comparamos las filas. La segunda es $(2, 6, 4)$ y la primera es $(1, 3, 2)$ .
Buscamos el factor. Cada elemento de la segunda es el doble del de la primera: son proporcionales.
Concluimos. Con dos filas proporcionales el determinante es cero, sin necesidad de desarrollar nada.
Respuesta: sí, $\det = 0$

Error típico

Suponer que $\det(A + B) = \det A + \det B$ . Es falso: el determinante se lleva bien con el producto pero no con la suma. Con las matrices identidad de $2 \times 2$ se ve rápido: cada una tiene determinante $1$ , la suma tiene determinante $4$ .

Practicar

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