Producto de matrices

Calcular $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ $\cdot 1 4$ $5 2$.

Controlamos las dimensiones. $(2 \times 2)(2 \times 2)$: los dos números del medio coinciden, así que se puede, y el resultado es $2 \times 2$.
Fila $1$ por las dos columnas. $2 \cdot 1 + 1 \cdot 5 = 7$ y $2 \cdot 4 + 1 \cdot 2 = 10$.
Fila $2$ por las dos columnas. $0 \cdot 1 + 3 \cdot 5 = 15$ y $0 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 6$. El resultado es $\begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 6 \end{bmatrix}$.
Respuesta: $\begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 6 \end{bmatrix}$

Calcular $AB$ con $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \end{bmatrix}$ $y 2 1$ $\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$.

Miramos las dimensiones. $A$ es $2 \times 3$ y $B$ es $3 \times 2$: se puede, y el resultado es $2 \times 2$.
Fila $1 y$ fila $2$, cada una por las dos columnas. $1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 \cdot 5 = 2$, $1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot 1 = 7$, $3 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 4 \cdot 5 = 26$ y $3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 4 \cdot 1 = 10$.
Escribimos AB y miramos el otro orden. $\begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 26 & 10 \end{bmatrix}$. En cambio $BA$ sería $(3 \times 2)(2 \times 3)$, que da una matriz $3 \times 3$: ni siquiera tiene la misma dimensión.
Respuesta: $AB =\begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 26 & 10 \end{bmatrix}$