Método

Ejercicios: Producto de matrices

cij=c_{ij} = fila i de A⋅A \cdot columna j de B

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá A⋅BA \cdot B con A=[−5−1−31]A = \begin{bmatrix}-5 & -1 \\ -3 & 1\end{bmatrix} y B=[−5−342]B = \begin{bmatrix}-5 & -3 \\ 4 & 2\end{bmatrix}.

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1. Verificamos que se puedan multiplicar. Las columnas de la primera tienen que coincidir con las filas de la segunda. Acá las dos son 2×22 \times 2, así que se puede.

2. Recordamos la regla. Cada elemento del resultado sale de multiplicar una fila de la primera por una columna de la segunda, término a término, y sumar.

3. Calculamos la primera fila. (−5)(−5)+(−1)(4)=21(-5)(-5) + (-1)(4) = 21 y (−5)(−3)+(−1)(2)=13(-5)(-3) + (-1)(2) = 13

4. Calculamos la segunda fila. (−3)(−5)+(1)(4)=19(-3)(-5) + (1)(4) = 19 y (−3)(−3)+(1)(2)=11(-3)(-3) + (1)(2) = 11

5. Escribimos el resultado. A⋅B=[21131911]A \cdot B = \begin{bmatrix}21 & 13 \\ 19 & 11\end{bmatrix}

6. Controlamos. El producto no se hace elemento a elemento. Ese es el error más común del tema.

Respuesta: A⋅B=[21131911]A \cdot B = \begin{bmatrix}21 & 13 \\ 19 & 11\end{bmatrix}

2. Calculá A⋅BA \cdot B y B⋅AB \cdot A con A=[−3−616]A = \begin{bmatrix}-3 & -6 \\ 1 & 6\end{bmatrix} y B=[152−2]B = \begin{bmatrix}1 & 5 \\ 2 & -2\end{bmatrix}, y compará.

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1. Calculamos el primer producto. A⋅B=[−15−313−7]A \cdot B = \begin{bmatrix}-15 & -3 \\ 13 & -7\end{bmatrix}

2. Calculamos el segundo, invirtiendo el orden. B⋅A=[224−8−24]B \cdot A = \begin{bmatrix}2 & 24 \\ -8 & -24\end{bmatrix}

3. Comparamos. Los dos resultados son distintos.

4. Concluimos. El producto de matrices no es conmutativo. Invertir el orden cambia el resultado, y por eso siempre hay que respetar en qué orden aparece cada matriz.

Respuesta: A⋅B=[−15−313−7]A \cdot B = \begin{bmatrix}-15 & -3 \\ 13 & -7\end{bmatrix} y B⋅A=[224−8−24]B \cdot A = \begin{bmatrix}2 & 24 \\ -8 & -24\end{bmatrix}, que son distintos

3. Decidí si se puede calcular A⋅BA \cdot B con AA de orden 2×32 \times 3 y BB de orden 3×23 \times 2, y en caso afirmativo indicá el orden del resultado. A=[2−35−33−9]A = \begin{bmatrix}2 & -3 & 5 \\ -3 & 3 & -9\end{bmatrix}, B=[−1−1−7387]B = \begin{bmatrix}-1 & -1 \\ -7 & 3 \\ 8 & 7\end{bmatrix}.

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1. Escribimos los órdenes. AA es 2×32 \times 3 y BB es 3×23 \times 2.

2. Aplicamos la condición. Para multiplicar, las columnas de la primera (33) tienen que coincidir con las filas de la segunda (33). Coinciden, así que el producto existe.

3. Determinamos el orden del resultado. El resultado tiene las filas de la primera y las columnas de la segunda: 2×22 \times 2.

4. Calculamos. A⋅B=[5924−90−51]A \cdot B = \begin{bmatrix}59 & 24 \\ -90 & -51\end{bmatrix}

5. Observamos. En cambio B⋅AB \cdot A también existiría.

Respuesta: sí se puede, y el resultado es de orden 2×22 \times 2: A⋅B=[5924−90−51]A \cdot B = \begin{bmatrix}59 & 24 \\ -90 & -51\end{bmatrix}

4. Verificá que A⋅I=I⋅A=AA \cdot I = I \cdot A = A para A=[−6−162]A = \begin{bmatrix}-6 & -1 \\ 6 & 2\end{bmatrix} e I=[1001]I = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}.

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1. Recordamos qué es la identidad. La matriz identidad tiene unos en la diagonal y ceros en el resto. Cumple con las matrices el mismo papel que el uno con los números.

2. Calculamos A⋅IA \cdot I. A⋅I=[−6−162]A \cdot I = \begin{bmatrix}-6 & -1 \\ 6 & 2\end{bmatrix}

3. Calculamos I⋅AI \cdot A. I⋅A=[−6−162]I \cdot A = \begin{bmatrix}-6 & -1 \\ 6 & 2\end{bmatrix}

4. Comparamos con AA. Los dos productos dan exactamente AA.

5. Observamos. La identidad es una de las pocas matrices que conmuta con todas. En general el orden importa, pero con la identidad no.

Respuesta: los dos productos dan A=[−6−162]A = \begin{bmatrix}-6 & -1 \\ 6 & 2\end{bmatrix}

5. Calculá A⋅BA \cdot B con A=[−3−452]A = \begin{bmatrix}-3 & -4 \\ 5 & 2\end{bmatrix} y B=[−3−24−1]B = \begin{bmatrix}-3 & -2 \\ 4 & -1\end{bmatrix}.

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1. Verificamos que se puedan multiplicar. Las columnas de la primera tienen que coincidir con las filas de la segunda. Acá las dos son 2×22 \times 2, así que se puede.

2. Recordamos la regla. Cada elemento del resultado sale de multiplicar una fila de la primera por una columna de la segunda, término a término, y sumar.

3. Calculamos la primera fila. (−3)(−3)+(−4)(4)=−7(-3)(-3) + (-4)(4) = -7 y (−3)(−2)+(−4)(−1)=10(-3)(-2) + (-4)(-1) = 10

4. Calculamos la segunda fila. (5)(−3)+(2)(4)=−7(5)(-3) + (2)(4) = -7 y (5)(−2)+(2)(−1)=−12(5)(-2) + (2)(-1) = -12

5. Escribimos el resultado. A⋅B=[−710−7−12]A \cdot B = \begin{bmatrix}-7 & 10 \\ -7 & -12\end{bmatrix}

6. Controlamos. El producto no se hace elemento a elemento. Ese es el error más común del tema.

Respuesta: A⋅B=[−710−7−12]A \cdot B = \begin{bmatrix}-7 & 10 \\ -7 & -12\end{bmatrix}

6. Calculá A⋅BA \cdot B y B⋅AB \cdot A con A=[1344]A = \begin{bmatrix}1 & 3 \\ 4 & 4\end{bmatrix} y B=[−62−42]B = \begin{bmatrix}-6 & 2 \\ -4 & 2\end{bmatrix}, y compará.

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1. Calculamos el primer producto. A⋅B=[−188−4016]A \cdot B = \begin{bmatrix}-18 & 8 \\ -40 & 16\end{bmatrix}

2. Calculamos el segundo, invirtiendo el orden. B⋅A=[2−104−4]B \cdot A = \begin{bmatrix}2 & -10 \\ 4 & -4\end{bmatrix}

3. Comparamos. Los dos resultados son distintos.

4. Concluimos. El producto de matrices no es conmutativo. Invertir el orden cambia el resultado, y por eso siempre hay que respetar en qué orden aparece cada matriz.

Respuesta: A⋅B=[−188−4016]A \cdot B = \begin{bmatrix}-18 & 8 \\ -40 & 16\end{bmatrix} y B⋅A=[2−104−4]B \cdot A = \begin{bmatrix}2 & -10 \\ 4 & -4\end{bmatrix}, que son distintos

7. Decidí si se puede calcular A⋅BA \cdot B con AA de orden 2×32 \times 3 y BB de orden 3×33 \times 3, y en caso afirmativo indicá el orden del resultado. A=[−7−4−3−3−22]A = \begin{bmatrix}-7 & -4 & -3 \\ -3 & -2 & 2\end{bmatrix}, B=[−7−311−2−2−1−13]B = \begin{bmatrix}-7 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ -1 & -1 & 3\end{bmatrix}.

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1. Escribimos los órdenes. AA es 2×32 \times 3 y BB es 3×33 \times 3.

2. Aplicamos la condición. Para multiplicar, las columnas de la primera (33) tienen que coincidir con las filas de la segunda (33). Coinciden, así que el producto existe.

3. Determinamos el orden del resultado. El resultado tiene las filas de la primera y las columnas de la segunda: 2×32 \times 3.

4. Calculamos. A⋅B=[4832−817117]A \cdot B = \begin{bmatrix}48 & 32 & -8 \\ 17 & 11 & 7\end{bmatrix}

5. Observamos. En cambio B⋅AB \cdot A no existiría, porque las columnas de BB no coinciden con las filas de AA.

Respuesta: sí se puede, y el resultado es de orden 2×32 \times 3: A⋅B=[4832−817117]A \cdot B = \begin{bmatrix}48 & 32 & -8 \\ 17 & 11 & 7\end{bmatrix}

8. Verificá que A⋅I=I⋅A=AA \cdot I = I \cdot A = A para A=[62−3−2]A = \begin{bmatrix}6 & 2 \\ -3 & -2\end{bmatrix} e I=[1001]I = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}.

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1. Recordamos qué es la identidad. La matriz identidad tiene unos en la diagonal y ceros en el resto. Cumple con las matrices el mismo papel que el uno con los números.

2. Calculamos A⋅IA \cdot I. A⋅I=[62−3−2]A \cdot I = \begin{bmatrix}6 & 2 \\ -3 & -2\end{bmatrix}

3. Calculamos I⋅AI \cdot A. I⋅A=[62−3−2]I \cdot A = \begin{bmatrix}6 & 2 \\ -3 & -2\end{bmatrix}

4. Comparamos con AA. Los dos productos dan exactamente AA.

5. Observamos. La identidad es una de las pocas matrices que conmuta con todas. En general el orden importa, pero con la identidad no.

Respuesta: los dos productos dan A=[62−3−2]A = \begin{bmatrix}6 & 2 \\ -3 & -2\end{bmatrix}

9. Calculá A⋅BA \cdot B con A=[312−5]A = \begin{bmatrix}3 & 1 \\ 2 & -5\end{bmatrix} y B=[66−1−5]B = \begin{bmatrix}6 & 6 \\ -1 & -5\end{bmatrix}.

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1. Verificamos que se puedan multiplicar. Las columnas de la primera tienen que coincidir con las filas de la segunda. Acá las dos son 2×22 \times 2, así que se puede.

2. Recordamos la regla. Cada elemento del resultado sale de multiplicar una fila de la primera por una columna de la segunda, término a término, y sumar.

3. Calculamos la primera fila. (3)(6)+(1)(−1)=17(3)(6) + (1)(-1) = 17 y (3)(6)+(1)(−5)=13(3)(6) + (1)(-5) = 13

4. Calculamos la segunda fila. (2)(6)+(−5)(−1)=17(2)(6) + (-5)(-1) = 17 y (2)(6)+(−5)(−5)=37(2)(6) + (-5)(-5) = 37

5. Escribimos el resultado. A⋅B=[17131737]A \cdot B = \begin{bmatrix}17 & 13 \\ 17 & 37\end{bmatrix}

6. Controlamos. El producto no se hace elemento a elemento. Ese es el error más común del tema.

Respuesta: A⋅B=[17131737]A \cdot B = \begin{bmatrix}17 & 13 \\ 17 & 37\end{bmatrix}

10. Calculá A⋅BA \cdot B y B⋅AB \cdot A con A=[6−1−52]A = \begin{bmatrix}6 & -1 \\ -5 & 2\end{bmatrix} y B=[331−3]B = \begin{bmatrix}3 & 3 \\ 1 & -3\end{bmatrix}, y compará.

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1. Calculamos el primer producto. A⋅B=[1721−13−21]A \cdot B = \begin{bmatrix}17 & 21 \\ -13 & -21\end{bmatrix}

2. Calculamos el segundo, invirtiendo el orden. B⋅A=[3321−7]B \cdot A = \begin{bmatrix}3 & 3 \\ 21 & -7\end{bmatrix}

3. Comparamos. Los dos resultados son distintos.

4. Concluimos. El producto de matrices no es conmutativo. Invertir el orden cambia el resultado, y por eso siempre hay que respetar en qué orden aparece cada matriz.

Respuesta: A⋅B=[1721−13−21]A \cdot B = \begin{bmatrix}17 & 21 \\ -13 & -21\end{bmatrix} y B⋅A=[3321−7]B \cdot A = \begin{bmatrix}3 & 3 \\ 21 & -7\end{bmatrix}, que son distintos

11. Decidí si se puede calcular A⋅BA \cdot B con AA de orden 2×32 \times 3 y BB de orden 3×33 \times 3, y en caso afirmativo indicá el orden del resultado. A=[−3−297−95]A = \begin{bmatrix}-3 & -2 & 9 \\ 7 & -9 & 5\end{bmatrix}, B=[−7−72−32−79−78]B = \begin{bmatrix}-7 & -7 & 2 \\ -3 & 2 & -7 \\ 9 & -7 & 8\end{bmatrix}.

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1. Escribimos los órdenes. AA es 2×32 \times 3 y BB es 3×33 \times 3.

2. Aplicamos la condición. Para multiplicar, las columnas de la primera (33) tienen que coincidir con las filas de la segunda (33). Coinciden, así que el producto existe.

3. Determinamos el orden del resultado. El resultado tiene las filas de la primera y las columnas de la segunda: 2×32 \times 3.

4. Calculamos. A⋅B=[108−468023−102117]A \cdot B = \begin{bmatrix}108 & -46 & 80 \\ 23 & -102 & 117\end{bmatrix}

5. Observamos. En cambio B⋅AB \cdot A no existiría, porque las columnas de BB no coinciden con las filas de AA.

Respuesta: sí se puede, y el resultado es de orden 2×32 \times 3: A⋅B=[108−468023−102117]A \cdot B = \begin{bmatrix}108 & -46 & 80 \\ 23 & -102 & 117\end{bmatrix}

12. Verificá que A⋅I=I⋅A=AA \cdot I = I \cdot A = A para A=[−3−223]A = \begin{bmatrix}-3 & -2 \\ 2 & 3\end{bmatrix} e I=[1001]I = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}.

Ver solución

1. Recordamos qué es la identidad. La matriz identidad tiene unos en la diagonal y ceros en el resto. Cumple con las matrices el mismo papel que el uno con los números.

2. Calculamos A⋅IA \cdot I. A⋅I=[−3−223]A \cdot I = \begin{bmatrix}-3 & -2 \\ 2 & 3\end{bmatrix}

3. Calculamos I⋅AI \cdot A. I⋅A=[−3−223]I \cdot A = \begin{bmatrix}-3 & -2 \\ 2 & 3\end{bmatrix}

4. Comparamos con AA. Los dos productos dan exactamente AA.

5. Observamos. La identidad es una de las pocas matrices que conmuta con todas. En general el orden importa, pero con la identidad no.

Respuesta: los dos productos dan A=[−3−223]A = \begin{bmatrix}-3 & -2 \\ 2 & 3\end{bmatrix}

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