Método

Ejercicios: Suma y producto por un escalar

(A+B)ij=aij+bij(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá A+BA + B con A=[3−56−5]A = \begin{bmatrix}3 & -5 \\ 6 & -5\end{bmatrix} y B=[−4−523]B = \begin{bmatrix}-4 & -5 \\ 2 & 3\end{bmatrix}.

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1. Verificamos que se puedan sumar. Las dos son de orden 2×22 \times 2. Sumar matrices de órdenes distintos no está definido.

2. Sumamos elemento a elemento. Se suman los que ocupan la misma posición, sin mezclar posiciones.

3. Hacemos las cuentas. (3)+(−4)=−1,(−5)+(−5)=−10,(6)+(2)=8,(−5)+(3)=−2(3) + (-4) = -1, (-5) + (-5) = -10, (6) + (2) = 8, (-5) + (3) = -2

4. Escribimos el resultado. A+B=[−1−108−2]A + B = \begin{bmatrix}-1 & -10 \\ 8 & -2\end{bmatrix}

Respuesta: A+B=[−1−108−2]A + B = \begin{bmatrix}-1 & -10 \\ 8 & -2\end{bmatrix}

2. Calculá 6A6A con A=[−4−35−3]A = \begin{bmatrix}-4 & -3 \\ 5 & -3\end{bmatrix}.

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1. Recordamos la regla. Multiplicar una matriz por un número es multiplicar cada uno de sus elementos por ese número.

2. Multiplicamos la primera fila. 6⋅(−4)=−246 \cdot (-4) = -24 y 6⋅(−3)=−186 \cdot (-3) = -18

3. Multiplicamos la segunda fila. 6⋅(5)=306 \cdot (5) = 30 y 6⋅(−3)=−186 \cdot (-3) = -18

4. Escribimos el resultado. 6A=[−24−1830−18]6A = \begin{bmatrix}-24 & -18 \\ 30 & -18\end{bmatrix}

5. Observamos. El orden de la matriz no cambia: multiplicar por un escalar no agrega ni quita filas ni columnas.

Respuesta: 6A=[−24−1830−18]6A = \begin{bmatrix}-24 & -18 \\ 30 & -18\end{bmatrix}

3. Calculá 5A−3B5A - 3B con A=[256−2]A = \begin{bmatrix}2 & 5 \\ 6 & -2\end{bmatrix} y B=[4−1−4−4]B = \begin{bmatrix}4 & -1 \\ -4 & -4\end{bmatrix}.

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1. Separamos la cuenta en dos pasos. Primero cada matriz por su escalar, después la suma.

2. Multiplicamos. 5A=[102530−10]5A = \begin{bmatrix}10 & 25 \\ 30 & -10\end{bmatrix} y −3B=[−1231212]-3B = \begin{bmatrix}-12 & 3 \\ 12 & 12\end{bmatrix}

3. Sumamos elemento a elemento. 5A−3B=[−228422]5A - 3B = \begin{bmatrix}-2 & 28 \\ 42 & 2\end{bmatrix}

4. Controlamos. Las propiedades son las mismas que con números: el escalar distribuye sobre la suma de matrices.

Respuesta: 5A−3B=[−228422]5A - 3B = \begin{bmatrix}-2 & 28 \\ 42 & 2\end{bmatrix}

4. Hallá la matriz XX que cumple A+X=CA + X = C, con A=[−16−25]A = \begin{bmatrix}-1 & 6 \\ -2 & 5\end{bmatrix} y C=[244−5]C = \begin{bmatrix}2 & 4 \\ 4 & -5\end{bmatrix}.

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1. Despejamos. La suma de matrices se comporta como la de números, así que podemos pasar restando: X=C−AX = C - A.

2. Restamos elemento a elemento. X=[244−5]−[−16−25]X = \begin{bmatrix}2 & 4 \\ 4 & -5\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-1 & 6 \\ -2 & 5\end{bmatrix}

3. Hacemos las cuentas. X=[3−26−10]X = \begin{bmatrix}3 & -2 \\ 6 & -10\end{bmatrix}

4. Verificamos. A+X=[−16−25]+[3−26−10]=[244−5]A + X = \begin{bmatrix}-1 & 6 \\ -2 & 5\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}3 & -2 \\ 6 & -10\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 4 \\ 4 & -5\end{bmatrix}, que es CC.

Respuesta: X=[3−26−10]X = \begin{bmatrix}3 & -2 \\ 6 & -10\end{bmatrix}

5. Calculá A+BA + B con A=[−2464]A = \begin{bmatrix}-2 & 4 \\ 6 & 4\end{bmatrix} y B=[45−6−5]B = \begin{bmatrix}4 & 5 \\ -6 & -5\end{bmatrix}.

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1. Verificamos que se puedan sumar. Las dos son de orden 2×22 \times 2. Sumar matrices de órdenes distintos no está definido.

2. Sumamos elemento a elemento. Se suman los que ocupan la misma posición, sin mezclar posiciones.

3. Hacemos las cuentas. (−2)+(4)=2,(4)+(5)=9,(6)+(−6)=0,(4)+(−5)=−1(-2) + (4) = 2, (4) + (5) = 9, (6) + (-6) = 0, (4) + (-5) = -1

4. Escribimos el resultado. A+B=[290−1]A + B = \begin{bmatrix}2 & 9 \\ 0 & -1\end{bmatrix}

Respuesta: A+B=[290−1]A + B = \begin{bmatrix}2 & 9 \\ 0 & -1\end{bmatrix}

6. Calculá 4A4A con A=[3−32−3]A = \begin{bmatrix}3 & -3 \\ 2 & -3\end{bmatrix}.

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1. Recordamos la regla. Multiplicar una matriz por un número es multiplicar cada uno de sus elementos por ese número.

2. Multiplicamos la primera fila. 4⋅(3)=124 \cdot (3) = 12 y 4⋅(−3)=−124 \cdot (-3) = -12

3. Multiplicamos la segunda fila. 4⋅(2)=84 \cdot (2) = 8 y 4⋅(−3)=−124 \cdot (-3) = -12

4. Escribimos el resultado. 4A=[12−128−12]4A = \begin{bmatrix}12 & -12 \\ 8 & -12\end{bmatrix}

5. Observamos. El orden de la matriz no cambia: multiplicar por un escalar no agrega ni quita filas ni columnas.

Respuesta: 4A=[12−128−12]4A = \begin{bmatrix}12 & -12 \\ 8 & -12\end{bmatrix}

7. Calculá 5A−3B5A - 3B con A=[−5−2−25]A = \begin{bmatrix}-5 & -2 \\ -2 & 5\end{bmatrix} y B=[266−5]B = \begin{bmatrix}2 & 6 \\ 6 & -5\end{bmatrix}.

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1. Separamos la cuenta en dos pasos. Primero cada matriz por su escalar, después la suma.

2. Multiplicamos. 5A=[−25−10−1025]5A = \begin{bmatrix}-25 & -10 \\ -10 & 25\end{bmatrix} y −3B=[−6−18−1815]-3B = \begin{bmatrix}-6 & -18 \\ -18 & 15\end{bmatrix}

3. Sumamos elemento a elemento. 5A−3B=[−31−28−2840]5A - 3B = \begin{bmatrix}-31 & -28 \\ -28 & 40\end{bmatrix}

4. Controlamos. Las propiedades son las mismas que con números: el escalar distribuye sobre la suma de matrices.

Respuesta: 5A−3B=[−31−28−2840]5A - 3B = \begin{bmatrix}-31 & -28 \\ -28 & 40\end{bmatrix}

8. Hallá la matriz XX que cumple A+X=CA + X = C, con A=[1−2−54]A = \begin{bmatrix}1 & -2 \\ -5 & 4\end{bmatrix} y C=[−23−21]C = \begin{bmatrix}-2 & 3 \\ -2 & 1\end{bmatrix}.

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1. Despejamos. La suma de matrices se comporta como la de números, así que podemos pasar restando: X=C−AX = C - A.

2. Restamos elemento a elemento. X=[−23−21]−[1−2−54]X = \begin{bmatrix}-2 & 3 \\ -2 & 1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}1 & -2 \\ -5 & 4\end{bmatrix}

3. Hacemos las cuentas. X=[−353−3]X = \begin{bmatrix}-3 & 5 \\ 3 & -3\end{bmatrix}

4. Verificamos. A+X=[1−2−54]+[−353−3]=[−23−21]A + X = \begin{bmatrix}1 & -2 \\ -5 & 4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-3 & 5 \\ 3 & -3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 & 3 \\ -2 & 1\end{bmatrix}, que es CC.

Respuesta: X=[−353−3]X = \begin{bmatrix}-3 & 5 \\ 3 & -3\end{bmatrix}

9. Calculá A+BA + B con A=[−31−32]A = \begin{bmatrix}-3 & 1 \\ -3 & 2\end{bmatrix} y B=[2−14−6]B = \begin{bmatrix}2 & -1 \\ 4 & -6\end{bmatrix}.

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1. Verificamos que se puedan sumar. Las dos son de orden 2×22 \times 2. Sumar matrices de órdenes distintos no está definido.

2. Sumamos elemento a elemento. Se suman los que ocupan la misma posición, sin mezclar posiciones.

3. Hacemos las cuentas. (−3)+(2)=−1,(1)+(−1)=0,(−3)+(4)=1,(2)+(−6)=−4(-3) + (2) = -1, (1) + (-1) = 0, (-3) + (4) = 1, (2) + (-6) = -4

4. Escribimos el resultado. A+B=[−101−4]A + B = \begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 1 & -4\end{bmatrix}

Respuesta: A+B=[−101−4]A + B = \begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 1 & -4\end{bmatrix}

10. Calculá 4A4A con A=[−566−6]A = \begin{bmatrix}-5 & 6 \\ 6 & -6\end{bmatrix}.

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1. Recordamos la regla. Multiplicar una matriz por un número es multiplicar cada uno de sus elementos por ese número.

2. Multiplicamos la primera fila. 4⋅(−5)=−204 \cdot (-5) = -20 y 4⋅(6)=244 \cdot (6) = 24

3. Multiplicamos la segunda fila. 4⋅(6)=244 \cdot (6) = 24 y 4⋅(−6)=−244 \cdot (-6) = -24

4. Escribimos el resultado. 4A=[−202424−24]4A = \begin{bmatrix}-20 & 24 \\ 24 & -24\end{bmatrix}

5. Observamos. El orden de la matriz no cambia: multiplicar por un escalar no agrega ni quita filas ni columnas.

Respuesta: 4A=[−202424−24]4A = \begin{bmatrix}-20 & 24 \\ 24 & -24\end{bmatrix}

11. Calculá 3A−5B3A - 5B con A=[2−34−3]A = \begin{bmatrix}2 & -3 \\ 4 & -3\end{bmatrix} y B=[5−45−2]B = \begin{bmatrix}5 & -4 \\ 5 & -2\end{bmatrix}.

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1. Separamos la cuenta en dos pasos. Primero cada matriz por su escalar, después la suma.

2. Multiplicamos. 3A=[6−912−9]3A = \begin{bmatrix}6 & -9 \\ 12 & -9\end{bmatrix} y −5B=[−2520−2510]-5B = \begin{bmatrix}-25 & 20 \\ -25 & 10\end{bmatrix}

3. Sumamos elemento a elemento. 3A−5B=[−1911−131]3A - 5B = \begin{bmatrix}-19 & 11 \\ -13 & 1\end{bmatrix}

4. Controlamos. Las propiedades son las mismas que con números: el escalar distribuye sobre la suma de matrices.

Respuesta: 3A−5B=[−1911−131]3A - 5B = \begin{bmatrix}-19 & 11 \\ -13 & 1\end{bmatrix}

12. Hallá la matriz XX que cumple A+X=CA + X = C, con A=[−3−313]A = \begin{bmatrix}-3 & -3 \\ 1 & 3\end{bmatrix} y C=[−465−4]C = \begin{bmatrix}-4 & 6 \\ 5 & -4\end{bmatrix}.

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1. Despejamos. La suma de matrices se comporta como la de números, así que podemos pasar restando: X=C−AX = C - A.

2. Restamos elemento a elemento. X=[−465−4]−[−3−313]X = \begin{bmatrix}-4 & 6 \\ 5 & -4\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-3 & -3 \\ 1 & 3\end{bmatrix}

3. Hacemos las cuentas. X=[−194−7]X = \begin{bmatrix}-1 & 9 \\ 4 & -7\end{bmatrix}

4. Verificamos. A+X=[−3−313]+[−194−7]=[−465−4]A + X = \begin{bmatrix}-3 & -3 \\ 1 & 3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1 & 9 \\ 4 & -7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4 & 6 \\ 5 & -4\end{bmatrix}, que es CC.

Respuesta: X=[−194−7]X = \begin{bmatrix}-1 & 9 \\ 4 & -7\end{bmatrix}

Integradores de Matrices, determinantes y sistemas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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