Método

Suma y producto por un escalar

La suma de matrices se hace elemento a elemento: se suman los que están en la misma posición. Es la operación más simple del tema.

La condición es que las dos matrices tengan exactamente el mismo tamaño. Si no coinciden filas y columnas, la suma no está definida, y eso no es un tecnicismo: no hay forma de emparejar los elementos.

Multiplicar por un número también es elemento a elemento: se multiplica cada uno por ese número.

Estas dos operaciones se comportan como las de los números. La suma es conmutativa y asociativa, hay una matriz que hace de cero, y cada matriz tiene su opuesta.

Esa buena conducta es lo que permite operar con expresiones matriciales despejando como en el álgebra común, al menos mientras solo haya sumas y escalares. Con el producto de matrices las cosas cambian bastante.

(A+B)ij=aij+bij(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}
Cuándo se usa

En cualquier cuenta con matrices del mismo tamaño. Se opera elemento a elemento. Si los tamaños no coinciden, la suma no existe y el ejercicio suele estar pidiendo justamente que lo notes.

Ejemplo 1

Calcular [2103]+[1452]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}.

Controlamos las dimensiones. Las dos son 2×22 \times 2, así que la suma existe.
Sumamos la primera fila. 2+1=32 + 1 = 3 y 1+4=51 + 4 = 5.
Sumamos la segunda fila. 0+5=50 + 5 = 5 y 3+2=53 + 2 = 5.
Armamos el resultado. [3555]\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}, que también es 2×22 \times 2.
Respuesta: [3555]\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}

Ejemplo 2

Con A=[1230]A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} y B=[0124]B =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}, calcular 2A−3B2A - 3B.

Multiplicamos A por 22. Cada elemento por 22: [2460]\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 0 \end{bmatrix}.
Multiplicamos B por 33. [03612]\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 6 & 12 \end{bmatrix}.
Restamos la primera fila. 2=22 = 2 y 4−3=14 - 3 = 1.
Restamos la segunda fila. 6−6=06 - 6 = 0 y 0−12=−120 - 12 = -12.
Escribimos el resultado. [210−12]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -12 \end{bmatrix}. Conviene hacer primero los productos y recién después la resta.
Respuesta: [210−12]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -12 \end{bmatrix}

Error típico

Sumar matrices de distinta dimensión completando con ceros. No se completa nada: si las dimensiones no coinciden, la suma no está definida y la respuesta correcta es decir eso.

Practicar

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Otros subtemas de Matrices, determinantes y sistemas

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