Interpretación geométrica

Cada ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio, así que resolver un sistema es hallar la intersección de varios planos.

Esa lectura le da sentido a los tres casos de Rouché-Frobenius y ayuda a chequear si un resultado tiene sentido.

Con tres planos, la solución única significa que los tres se cortan en un punto. Es lo que pasa cuando el determinante no es cero.

Infinitas soluciones con un parámetro significa que los tres se cortan en una recta común. Con dos parámetros significa que los tres planos son el mismo.

Ninguna solución tiene varias formas geométricas. Puede haber dos planos paralelos, o tres que se cortan de a pares formando un prisma sin punto común.

Con dos incógnitas la interpretación es más simple, porque cada ecuación es una recta: se cortan en un punto, son la misma, o son paralelas.

\det \neq 0 \to

se cortan en un solo punto

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide interpretar geométricamente un sistema o describir cómo están dispuestos los planos. También sirve como chequeo: si el resultado no tiene sentido geométrico, hay un error.

Ejemplo 1

Interpretar geométricamente el sistema $x + y = 3$ , $2x + 2y = 6$ .

Reconocemos los objetos. Dos ecuaciones con dos incógnitas: son dos rectas del plano.
Calculamos el determinante. $1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0$ , así que no se cortan en un solo punto.
Distinguimos entre los dos casos que quedan. La segunda ecuación es el doble de la primera, así que son la misma recta: el sistema tiene infinitas soluciones y todas están sobre esa recta.
Respuesta: son la misma recta

Ejemplo 2

Interpretar el sistema $x + y + z = 1$ , $x + y + z = 2$ , $2x + y = 0$ .

Reconocemos los objetos. Tres ecuaciones con tres incógnitas: tres planos del espacio.
Comparamos los dos primeros. Tienen los mismos coeficientes y distinto término independiente: son planos paralelos y distintos, no se tocan nunca.
Concluimos. Si los dos primeros no comparten ningún punto, los tres tampoco. El sistema es incompatible, sin importar cómo sea el tercer plano.
Respuesta: incompatible

Error típico

Pensar que tres planos siempre se cortan en un punto. Pueden ser paralelos, pueden cortarse de a dos formando una especie de prisma sin ningún punto común, o pueden compartir una recta entera. El determinante distingue el primer caso de todos los demás.

Practicar

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