Qué es un espacio vectorial

Un espacio vectorial es un conjunto donde se puede sumar y multiplicar por números, y esas dos operaciones se comportan bien. Los elementos se llaman vectores aunque no sean flechas.

Ese es el salto conceptual del volumen. Las flechas del primer volumen son un ejemplo, pero no el único: las matrices, los polinomios y hasta las funciones forman espacios vectoriales, porque se pueden sumar entre sí y multiplicar por números.

Lo que se pide son ocho propiedades, y todas son las que uno esperaría: la suma es conmutativa y asociativa, hay un elemento neutro, cada vector tiene su opuesto, y el producto por escalares distribuye de las dos formas.

La ventaja de esta abstracción es enorme. Todo lo que se demuestre usando solo esas propiedades vale automáticamente para flechas, para matrices y para polinomios, sin repetir el razonamiento.

Los escalares vienen de un cuerpo, que casi siempre son los números reales. A veces se usan los complejos, y eso cambia algunos resultados.

u + v \in V y k \cdot v \in V

Cuándo se usa

Es el marco de todo el volumen. Cuando un ejercicio hable de vectores, fijate primero de qué espacio se trata: pueden ser ternas, matrices o polinomios, y las cuentas cambian aunque las ideas sean las mismas.

Ejemplo 1

Verificar que $R^{2}$ con las operaciones usuales cumple la cerradura y tiene vector nulo.

Probamos la suma. Sumando $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$ , que vuelve a ser un par de números reales.
Probamos el producto por un escalar. $k \cdot (a, b) = (ka, kb)$ , que también es un par de reales.
Buscamos el vector nulo. Es $(0, 0)$ , porque $(a, b) + (0, 0) = (a, b)$ . Las tres condiciones se cumplen.
Respuesta: sí, es espacio vectorial

Ejemplo 2

Decidir si el conjunto de los polinomios de grado exactamente $2$ es un espacio vectorial.

Elegimos dos elementos del conjunto. $p = x^{2} + 3$ y $q = -x^{2} + x$ , los dos de grado exactamente $2$ .
Los sumamos. $p + q = x + 3$ , que es de grado $1$ .
Concluimos. La suma se fue del conjunto, así que no hay cerradura y no es espacio vectorial. Alcanza con un solo contraejemplo.
Respuesta: no lo es

Error típico

Suponer que cualquier conjunto de vectores es espacio vectorial. La definición pide condiciones, y la que falla casi siempre es la cerradura: hay que sumar dos elementos cualesquiera y ver si el resultado sigue adentro.

Practicar

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Otros subtemas de Espacios vectoriales

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .